Стоячие волны

Особым случаем интерференции являются стоячие волны – это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.

Для вывода уравнения стоячей волны предположим, что две плоские волны распространяются навстречу друг другу вдоль оси х в среде без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми частотами и амплитудами. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда фазы обеих волн равны нулю. Тогда соответственно уравнения волны, распростра­ня­ю­щейся вдоль положительного направления оси х, и волны, распро­стра­ня­ющейся ей навстречу, будут иметь вид

x₁ = A cos(w t – kx),

(6.20)

x₂ = A cos(w t + kx).

Сложив эти уравнения и учитывая, что k = 2p/l, получим

x = x₁+x₂ = 2 A cos kx cosw t = 2 A cos (2p x/ l)cos w t. (6.21)

Выражение (6.21) представляет собой уравнение стоячей волны. Из этого уравнения следует, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания одной и той же частоты w с амплитудой А _ст= ê2 А cos (2p x /l) ê, зависящей от координаты х рассматриваемой точки.

В точках среды, где

2p x /l = ± m p (m = 0, 1, 2, …), (6.22)

амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2 А. В точках среды, где

2p x /l = ± (m +p/2) (m = 0, 1, 2, …) (6.23)

амплитуда колебаний обращается в нуль.

Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (А _ст = 2 А), называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (А _ст = 0), - узлами стоячей волны. Точки среды, находящихся в узлах, колебаний не совершают.

Из выражений (6.22) и (6.23) получим соответственно координаты пучностей и узлов:

(m = 0, 1, 2, …); (6.24)

(m = 0, 1, 2, …). (6.25)

Из формул (6.24) и (6.25) следует, что расстояния между двумя соседними пучностями и двумя соседними узлами одинаковы и равны l/2. Расстояние между соседними пучностью и узлом стоячей волны равно l/4.

В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, с одинаковыми фазами. При переходе через узел множитель 2 A cos (2p x /l) меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на p, т.е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе.Образование стоячих волн наблюдается при интерференции бегущей и отраженной волн. Что будет ли на границе отражения - узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения получается пучность (рис. 6.3, а), если более плотная – узел (рис. 6.3, б). В случае стоячей волны переноса энергии не наблюдается.

Вопросы для самоконтроля

1. Какое движение называется волновым?

2. Какие волны называются продольными, поперечными?

3. Каковы физические условия возникновения продольных и поперечных волн?

4. Что такое фронт волны?

5. Что называется волновой поверхностью?

6. Какими величинами характеризуются волны в упругой среде?

7. Какая характеристика называется длиной волны?

8. Какими соотношениями длина волны связана со скоростью распро­стра­нения волны и частотой?

9. Запишите уравнение плоской незатухающей бегущей волны.

10. Запишите волновое уравнение.

11. Каков физический смысл величин, входящих в уравнение плоской незатухающей бегущей волны?

12. Какая величина называется вектором Умова (вектором плотности потока энергии)?