Свойства кривой вероятностей

1). Функция - четная, т.е. и, следовательно, график функции симметричен относительно оси ординат Оу.

2). Наличие симметрии относительно оси Оу позволяет для функции рассматривать только её значения .

3). В точке х = 0 функция имеет максимум, значение которого равно

.

4). С увеличением аргумента х функция убывает, причем это убывание происходит достаточно быстро и уже при х 4 значения функции = 0.

5). При , т.е. ось Ох является горизонтальной асимптотой.

Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 15 – Нормальное распределение.

Примеры. С помощью стандартных таблиц найти следующие вероятности:

а) ; б) в) г)

Задача 1–Т15. Найти вероятность попадания в интервал (-2; 3) для нормально распределенной случайной величины с параметрами МХ = 2; .

Задача 2–Т15 (самостоятельно). Вычислить , если Х .

Задача 3–Т15. Предполагая, что случайная величина Х, определяемая как масса таблетки, наугад выбранной из некоторой партии таблеток, подчиняется нормальному распределению с математическим ожиданием = 0,5 г, и средним квадратичным отклонением σ = 0,1 г, найти вероятность того, что масса наугад выбранной таблетки окажется в пределах от 0,45 до 0,55 г.

Задача 4–Т15. Вес пачек с рисом, расфасованных фирмой «Новый рис», является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 1 кг и стандартным отклонением 10 г. Какой процент пачек имеет вес:

а) от 990 г до 1020 г? б) более 1020 г? в) менее 990 г (самостоятельно)?

Задача 5–Т15. Игральная кость, используемая мошенниками, подверглась испытаниям, в результате которых были установлены вероятности выпадения граней (т.е. построен закон распределения СВ Х - количество выпавших очков):

Х
Р	0,1	0,1	0,1	0,1	0,2	0,4

Вычислить вероятность того, что при 50 бросках среднее количество очков будет заключено между 3 и 4.

Задача 6–Т15. Найти такое число С, что .

Задача 7-Т15. Вес пачек с рисом, расфасованных фирмой «Новый рис», является нормально распределенной СВ с математическим ожиданием 1 кг и стандартным отклонением 10 г. Проверка показала, что 2,5% выпускаемых пачек имеют вес меньше минимального допустимого стандартом. Каков этот минимальный вес?

Задача 8-Т15. Случайная величина Х, распределенная по нормальному закону, представляет собой ошибку измерения некоторого расстояния. При измерении допускается систематическая ошибка в сторону завышения на 1,2 м; стандартное отклонение ошибки измерения равно 0,8 м. Найти вероятность того, что отклонение измеренного значения от истинного не превзойдет по абсолютной величине 1,6 м.

Домашнее задание 15. Тема 15 – Нормальное распределение.

Задача 1Д-Т15. Для нормально распределенной случайной величины определить:

а) Р (12 < X < 14);

б) Р (8 < X < 12), если МХ = 10, σ = 4.

Задача 2Д-Т15. При взвешивании получается ошибка, подчиненная нормальному закону с σ = 20. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей 10.

Задача 3Д-Т15. Диаметр детали, изготовленной в цехе, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия равна 0,0001 и математическое ожидание равно 2,5. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали.

Задача 4Д-Т15. Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величина Х с параметрами МХ = 73, σ² = 36, определить:

а) выражение плотности вероятности и функции распределения случайной величины Х;

в) квантиль х _0,7 и 10%-ю точку случайной величины Х;

c) сформулировать «правило трех сигм» для случайной величины Х.

Задача 5–Т15. Найти математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины, принимающей значения от 3,5 до 10,1.

Задача 6Д-Т15. Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределения с МХ = 375 г и σ = 25 г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет от 300 до 425 г.

Задача 7Д–Т15. Среди 20 книг, стоящих на полке, 8 книг - по математической статистике. Случайная величина X - число книг по математической статистике из четырёх случайно взятых с этой полки книг. Составить ряд распределения, найти функцию распределения, построить её график и найти все числовые характеристики.

Задача 8Д–Т15. В таблице приведен закон распределения случайной дискретной величины X, которая может принимать 5 значений. Найти:

а) её числовые характеристики (среднее, математическое ожидание, дисперсию и СКО, коэффициенты вариации, асимметрии и эксцесса);

б) функцию распределения;

в) вероятность того, что X примет значение меньше M (X);

г) вероятность того, что X примет значение больше 0,5 M (X).

Х	-2	-1
Р	0,1	0,2	0,5	0,1	0,1

Задача 9Д-Т15. Найти число С такое, что .

Задача 10Д-Т15. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2: а) составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов;

б) определить математическое ожидание;

в) определить дисперсию и стандартное отклонение.

Тема 16 – Понятие о биномиальной случайной величине. Основные характеристики биномиального распределения – 2 часа лекции