Условные вероятности

Пусть А и В – два события, рассматриваемых в опыте, при этом наступление одного события (А) может повлиять на возможное наступление другого (В). Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Определение. Условной вероятностью события В при условии, что произошло событие А, называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события А, причем ≠ 0. Условная вероятность обозначается

Таким образом, по определению:

Вероятность в отличие от условной вероятности , называется безусловной вероятностью.

Аналогично определяется условная вероятность события А при условии В, т.е.

Теорема 1 (правило умножения вероятностей). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

Р (А·В) = Р (А) Р(В | A) или Р (А·В) = Р (В) Р(А | B).

Если , то наступление события А не изменяет вероятности наступления события В. В этом случае говорят, что событие В независимо от события А.

Аналогично, если , то наступление события В не изменяет вероятности события А, т.е. событие А является независимым от В.

Лемма о взаимной независимости событий. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Если события А и В не являются независимыми, то в формулах вероятности суммы и произведения используют формулу условной вероятности:

или

Условная вероятность удовлетворяет Аксиомам Колмогорова:

1) и это очевидно;

2)

3) если Ø, поэтому

Эти формулы для определения вероятности суммы и произведения событий справедливы для любого количества составляющих элементарных событий.

В случае n событий:

Например, в случае трех составляющих: