Геометрическая вероятность

Задача 1Д–Т5. На плоскости начерчены две окружности радиусами 2 и 7 см соответственно, одна внутри другой. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от её расположения.

Задача 2Д-Т5. В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная в этот круг, попадет в данный треугольник.

Задача 3Д-Т5. В круг наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что она не попадет в правильный треугольник, вписанный в этот круг.

Задача 4Д-Т5. На отрезке [0; 5] случайно выбирается точка. Найти вероятность того, что расстояние от нее до правого конца отрезка не превосходит 1,6 единиц.

Задача 5Д-Т5. В круг радиуса R наугад бросается точка. Какова вероятность того, что эта точка окажется от центра круга на расстоянии большем, чем R/2?

Задача 6Д-Т5. На плоскости нанесена сетка с шагом 10 см. Найти вероятность того, что наугад брошенный на плоскость круг радиуса 1 см не пересечет стороны ни одного из квадратов.

Задача 7Д-Т5. Пусть испытанием является бросание точки в единичный квадрат, а событием А, В, С, D – попадание точки в соответствующую прямоугольную область (см. рис. 1 и 2). Проверить совместимость и зависимость событий:

а) событий А и В (рис. 1);

б) событий С и D (рис. 2).

Задача 8Д-Т5. Противник в течение часа делает один десятиминутный налет на участок шоссе. В течение этого же часа необходимо преодолеть этот опасный участок шоссе. С какой вероятностью можно избежать налета, если время преодоления опасного участка составляет пять минут?

Задача 9Д-Т5. Какова вероятность того, что произведение двух наугад выбранных правильных положительных дробей будет не больше ¼?

Задача 10Д-Т5. Наудачу выбирают два числа из отрезка [0; 1]. Какова вероятность, что сумма будет заключена между ¼ и 1?

Задача 11Д-Т5. Из последовательности чисел 1, 2, 3, …, 600 наугад выбирают два числа. Какова вероятность того, что одно из них меньше 126, а другое – больше 126?

Задача 12Д-Т5. На плоскости нарисованы две концентрические окружности, радиусы которых составляют 3 см и 5 см. Какова вероятность того, что точка, брошенная на плоскость в больший круг, попадет в кольцо, образованное этими окружностями?

Задача 13Д-Т5. Сектор А занимает половину рулетки, а ее вторая половина поделена пополам между секторами В и д. Какова вероятность того, что после раскручивания стрелка рулетки остановится: а) на секторе А? б) на секторе В?

Задача 14Д-Т5. На отрезке АВ, длина которого составляет 15 см, произвольным образом выделен отрезок MN, длина которого составляет 3 см. На отрезке АВ случайным образом отмечается точка Х. Какова вероятность того, что эта точка попадет на отрезок MN?

Задача 15Д-Т5. Поверхность рулетки разделена на секторы следующим образом: равные секторы 1 и 2 занимают половину площади круга, а вторая половина круга разделена на три равные сектора 3, 4 и 5. Какова вероятность того, что после раскручивания стрелка рулетки остановится на:

а) секторе 1? б) секторе 3?

в) части поверхности рулетки, занимаемой секторами 1 и 2?

г) части поверхности рулетки, занимаемой секторами 4 и 5?

д) части поверхности рулетки, занимаемой секторами 1 и 5?

Задача 16Д-Т5. Дано: АВ = 12 см, АМ = 2 см, MN = 3 см. На отрезке АВ случайным образом выбирается точка Х. Какова вероятность того, что точка Х попадет на отрезок:

а) АМ?

б) AN?

в) MN?

г) MB?

д) АВ?

Задача 17Д-Т5. Внутри квадрата со стороной 14 см выделен круг радиусом 2 см. Случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг?

Задача 18Д-Т5. Из некоторой группы учащихся 20 человек увлекаются спортом, 9 – музыкой, 6 – музыкой и спортом. Определите число учащихся группы и число учащихся, увлекающихся только спортом и только музыкой.

Задача 19Д-Т5. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства х – 3| . Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства:

а) | x | 2?

б) 1 | x – 6| 2?

Тема 6. Независимость событий. Вероятность произведения событий. Вероятность суммы событий. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие

Если известны или легко определяются и , то можно вычислить вероятности «сложных» событий А+В, А·В.

Вероятность события при известной вероятности события А, поскольку события А и его противоположность образуют полную группу событий, а их пересечением является пустое множество, т.е. , вычисляется по определению вероятности. Выразив , получим:

Р () = 1 – Р (А).

Если эти события А и В являются совместными, то для вычисления следует воспользоваться следующей Теоремой.

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности произведения этих событий:

.

Достаточно часто слагаемое в формуле вероятности суммы событий или легко вычисляется или оказывается равным нулю.

Если события А и В не могут произойти в результате одного испытания одновременно, т.е. иными словами, если А·В = Ø, тогда, по определению, А·В – невозможное событие, события А и В являются несовместимыми или несовместными, и тогда . Таким образом, для несовместимых событий А и В формула вероятности суммы этих событий приобретает особенно простой вид:

Будут верными для независимых событий и следующие формулы вычисления вероятностей:

Аналогичные формулы верны и для б о льшего числа независимых событий.

Например, для независимых событий А, В и С будет справедлива формула: