![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Запишемо ефективний потенціал обмінної взаємодії у вигляді (див.(2.14))
, (3.1)
де введена обмінна зарядова густина
. (3.2)
Обмінний потенціал для газу вільних електронів.
Використаємо в якості одноелектронних хвильових функцій функції вільного електрона
, (3.3)
де Ω – об’єм системи. Електронні стани характеризуються квантовими числами (
, де
– імпульс Фермі). При нульовій температурі Т = 0 К число електронів дорівнює
. (3.4)
Множник 2 у правій частині рівності (3.4) враховує число значень проекції спіна на вісь z. Замінюючи у виразі (3.4) суму по інтегралом згідно формули (буде встановлена в подальшому)
, (3.5)
прийдемо до виразу для електронної густини
. (3.6)
Звідси
, (3.7)
де – густина електронів з однаковими проекціями спіна.
Вирахуємо обмінний потенціал (3.1), вважаючи, що електрон знаходиться в початку координат
. Підставляючи (3.3) в (3.1) і інтегруючи, одержимо
. (3.8)
Використовуючи (3.5), надамо виразу (3.8) вигляд
, (3.9)
де
,
(3.10)
Ефективний обмінний потенціал, усереднений за всіма станами, дорівнює
, (3.11)
Підставляючи (3.7) в (3.11), в результаті одержимо
. (3.12)
Обмінний потенціал Слетера.
Слетер запропонував використовувати потенціал (3.12) для опису обмінної взаємодії не тільки вільних електронів, але і для електронів в системах з неоднорідним розподілом електронної густини:
. (3.13)
Якщо розрахунки проводяться без врахування спінової поляризації електронних станів за умови , то обмінний потенціал Слетера записується у вигляді
. (3.14)
де
(3.15)
є повна електронна густина.
Обмінний потенціал Гаспара – Кона – Шема.
Локальний обмінний потенціал вираховувався і методом, що ґрунтується на методі функціонала електронної густини, суть якого полягає в наступному. Повна енергія Е електронної системи є деяким потенціалом електронної густини (3.15). Виділяючи у повній енергії системи Е вклади кінетичного, кулонівського і обмінного членів, одержимо (див.(2.8))
, (3.16)
Враховуючи (2.9), (2.8), (2.2), замінимо варіаційну похідну функціонала кінетичної енергії (3.16) оператором кінетичної енергії:
.
З принципу мінімума повної енергії системи як функціонала електронної густини одержимо варіаційне рівняння для одноелектронної хвильової функції
. (3.17)
в якому
. (3.18)
Для газу електронів, густина якого змінюється повільно, можна застосувати наближення
, (3.19)
де – обмінна енергія, що припадає на один електрон в однорідному електронному газі. Підставляючи (3.19) в (3.18), одержимо
. (3.20)
Гаспар, Кон і Шем замінили у (3.19) його статистичним наближенням (3.14) і в результаті одержали
. (3.21)
Врахування електронних кореляцій.
У методі Хартрі – Фока враховуються кореляції у русі електронів з однаковими проекціями спінів, що зумовлює появу обмінного члена. Однак між електронами існує кулонівська взаємодія (відштовхування одноіменних зарядів), внаслідок якої положення одного електрона залежить від положення інших. У наближенні Хартрі – Фока кожний електрон рухається незалежно від інших в деякому ефективному полі, дія якого на електрон еквівалентна усередненій дії на нього всіх інших електронів. Це випливає з того, що хвильова функція системи електронів записується у вигляді хвильової функції (2.3) системи невзаємодіючих частинок. У дійсності хвильова функція повинна відображати зменшення ймовірності знаходження електронів у тісному сусідстві, що веде до утворення так званої кореляційної дірки. Зокрема, завдяки нехтуванню електронними кореляціями в обмінному потенціалі (3.9) для газу вільних електронів виникає логарифмічна особливість на рівні Фермі. Оскільки при переході до статистичного наближення (3.12) ця особливість зникає, то кажуть, що воно “частково враховує кореляцію”. У зв’язку з цим одержане локальне наближення для обмінного потенціалу вірніше називати обмінно-кореляційним потенціалом. Однак коректно врахувати кореляційні ефекти можна лише у рамках багато електронної теорії (див. розділ 4). Врахування кореляційних ефектів приводить до появи у правих частинах виразів (3.19), (3.21) поправок, що залежать від електронної густини.
Гелл-Ман і Бракнер запропонували метод розрахунку поправки до енергії системи, що зумовлена електрон-електронною взаємодією, шляхом підсумовування членів у всіх порядках теорії збурень, які дають основний внесок у випадку високої густини електронного газу.
Згідно результату Гелл-Мана і Бракнера, вираз для обмінно-кореляційної енергії має вигляд [4,5]:
(3.22)
де
, (3.23)
r – електронна густина, a 0 – радіус Бора, rs – радіус сфери, рівновеликої за об’ємом об’єму, який приходиться на один електрон.
Вігнер, здійснивши інтерполяцію між граничними випадками високої і малої густини, одержав:
(3.24)
Перший доданок в квадратних дужках в (3.22) і (3.24) приводить до обмінного потенціалу Гаспара – Кона – Шема, решта описує поправки на електронні кореляції. У відповідності з цим обмінно-кореляційний потенціал представимо у вигляді суми потенціалів Гаспара – Кона – Шема і деякої добавки, що залежить від rS:
. (3.25)
Використовуючи (3.18), в результаті із (3.22) одержимо:
. (3.26)
Аналогічно з (3.18), (3.24), одержимо:
. (3.27)
Внесок електрон-електронної взаємодії в енергію системи можна визначити, зводячи його до екранування зовнішнього потенціалу електронним газом і розраховуючи діелектричну проникність кристалу. В наближенні самоузгодженого поля, відомому ще як наближення випадкових фаз, Хедін і Лундквіст отримали обмінно-кореляційний потенціал у вигляді (3.25), де
. (3.28)
Параметри cP і rP, що входять в цю формулу, мають значення cP =0,0504, rP =30.
Обмінно-кореляційний потенціал (3.25) можна представити у вигляді потенціалу Слетера з залежним від rS множником :
(3.29)
При цьому
, (3.30)
В наближенні хаотичних фаз з врахуванням спінової поляризації локальний обмінно-кореляційний потенціал можна подати у вигляді [4]
. (3.31)
Перший доданок – обмінно-кореляційний потенціал Гаспара – Кона – Шема, записаний в спін-поляризованому вигляді
, (3.32)
виражається формулою (3.28), а
, (3.33)
де ,
,
,
, cF =0,0254, rF =75, cP =0,0504, rP =30.
Вирази для обмінно-кореляційного потенціалу, що наведені вище, одержано в локальному наближенні, яке є справедливим, як вже зазначалось, для випадку однорідного розподілу електронної густини. Зазначене наближення відоме ще як наближення локальної густини.
Вихід за рамки наближення локальної густини.
Для того, щоб врахувати неоднорідність в розподілі електронної густини в методі функціонала електронної густини, потрібно виконати градієнтний розклад r (r), тобто розкласти r (r) в ряд за степенями при деякому середньому значенні електронної густини r. Обмежуючись членами другого порядку, для обмінно-кореляційного потенціалу матимемо [4]:
. (3.34)
– наближення для обмінного потенціалу.
Вибір обмінного потенціала суттєво впливає на результати розрахунку електронної структури конкретних систем. Як свідчать результати числових розрахунків, для одних елементів і сполук слід застосовувати потенціал (3.13), а для інших – потенціал
(3.21). У цій ситуації має сенс ввести в локальний обмінний потенціал параметр a, який для різних атомів приймає різні значення.
Потенціал
. (3.35)
називають обмінним потенціалом у – наближенні. При a = 1 він переходить у потенціал
(3.13), а при a = 2/3 – у потенціал
(3.21). Значення параметра a підбирають шляхом мінімізації повної енергії Е (a) (2.8) як функції параметра a, від якого у (2.8) залежать одноелектронні хвильові функції
, що знаходяться з рівняння Хартрі – Фока (2.13) з обмінним потенціалом
(3.35).
У розрахунках часто наближено покладають, що залежність параметра a (z) від порядкового номера елемента z періодичної системи є гладкою і користуються значеннями a, що розраховані для легких, середніх та тяжких атомів. Так для атомів з порядковим номером z, що відповідає середині періодичної системи, a @ 0,75.
Враховуючи (2.13), (2.14), (3.1), (3.35), (3.15), запишемо рівняння Хартрі – Фока у вигляді
, (3.36)
де
(3.37)
– потенціальна енергія електрона в полі нерухомих ядер,
(3.38)
– кулонівський потенціал електронного заряду,
. (3.39)
– обмінний потенціал,
, (3.40)
– густина електронів з проекцією спіна σ,
, (3.41)
– повна електронна густина.
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 299 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!