Теорема Блоха

У рівнянні Хартрі – Фока (3.23) для хвильової функції електрона в кристалі потенціальну енергію називають кристалічним потенціалом. Запишемо рівняння (3.23) у вигляді

, (6.1)

де

. (6.2)

Для дослідження властивостей розв’язків рівняння (6.1) введемо оператор трансляції [3,6]

, (6.3)

де вектор прямої решітки визначається виразом (4.1). Згідно означення (6.3) результат дії оператора трансляції на деяку функцію радіуса-вектора точки кристалу r дорівнює значенню цієї функції в точці r + l.

Подіємо оператором трансляції на ліву і праву частини рівняння (6.1). В результаті одержимо

. (6.4)

Із трансляційної симетрії нескінченно великого кристалу

, (6.5)

Враховуючи (6.2), (6.5), одержимо

. (6.6)

Підставляючи (6.6) у (6.4), маємо

. (6.7)

Із рівняння (6.7) видно, що оператори і комутують. Порівнюючи (6.1), (6.7), бачимо, що і є власними функціями оператора Гамільтона .

Позначимо енергію електрона в кристалі через ε_γ, де γ – набір квантових чисел, що включає і спінове квантове число σ. У загальному випадку значення енергії ε_γ є виродженим. Власними функціями гамільтоніана , що відповідають власним значенням ε_γ, є: , та їх лінійні комбінації; i =1,2,..., n_γ; n_γ – кратність виродження енергетичного рівня ε_γ. У зв’язку з цим можна записати

. (6.8)

Для зручності ми опускаємо індекс γ біля . Візьмемо замість функцій у (6.1), (6.7) їх лінійні комбінації [5]

. (6.9)

В результаті одержимо

. (6.10)

де матриця оператора у новому базисі дорівнює матриці оператора у старому базисі, тобто:

. (6.11)

Виберемо таке перетворення (6.9), щоб воно діагоналізувало матрицю . Тоді

, (6.12)

а рівняння (6.10) набуває вигляду

, (6.13)

де , t _{l i} – власні функції і власні значення оператора трансляції .

Елементи матриці перетворення S_ji, що діагоналізує матрицю , та діагональні матричні елементи t _{l i} знаходяться із системи рівнянь

. (6.14)

Повернимось до рівняння (6.13) для власних функцій і власних значень t _{l i} оператора трансляції . З умови нормування функцій , :

, (6.15)

та рівняння (6.13) випливає

. (6.16)

Згідно означення (6.3), оператор трансляції задовольняє умові:

,

. (6.17)

Із виразу (6.17) видно, що оператори трансляції , комутують. У зв’язку з цим матриці , одним і тим же перетворенням (6.9), (6.14) можна привести до діагонального вигляду, при цьому

. (6.18)

Враховуючи (6.18), можна записати

. (6.19)

Умовам (6.16), (6.19) задовольняє

. (6.20)

Підставляючи (6.20) у (6.13), одержимо

, (6.21)

Опускаючи індекси γі біля вектора k _γі, маємо

. (6.22)

Використовуючи (6.3), із (6.22) одержимо

. (6.23)

Рівняння (6.23), що встановлює властивості хвильової функції електрона у періодичному полі кристалу, носить назву теореми Блоха.

Підставляючи (6.22) у (6.7), одержимо, що власні функції оператора трансляції (6.22) є власними функціями гамільтоніана

, (6.24)

де і = 1,2,..., n_{γ k}; n_{γ k} – кратність виродження енергетичного рівня ε_{γ k}.