![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
У попередньому параграфі ми бачили, як на основі адіабатичного наближення може бути спрощена квантовомеханічна задача про рух електронів і ядер у кристалі. Адіабатичне наближення, що ґрунтується на малості параметрів , дозволяє звести опис поведінки системи електронів і ядер твердого тіла до задачі про рух електронів в полі нерухомих ядер та задачі про рух ядер. Однак і в цьому випадку задача про рух всіх електронів у кристалі є надзвичайно складною і вимагає застосування тих чи інших наближених методів. Одним з таких методів є метод Хартрі-Фока, який дозволяє звести багатоелектронну задачу до рівняння руху одного електрона у полі ядер та деякому ефективному полі, що створюється іншими електронами.
Запишемо гамільтоніан системи N взаємодіючих один з одним електронів у полі нерухомих ядер у вигляді (див.(1.7))
, (2.1)
де
. (2.2)
Тут – потенціальна енергія і -го електрона в полі нерухомих ядер, штрих біля суми у виразі (2.1) вказує, що члени суми з i = j треба опустити. Тотожність частинок висуває певні вимоги до вигляду хвильової функції системи: вона повинна бути антисиметричною відносно перестановки координат і проекцій спіна будь-яких двох електронів. Така хвильова функція, що задовольняє принципу Паулі, має вигляд
. (2.3)
Тут
, (2.4)
,
– просторова і спінова частини хвильової функції j -го електрона,
– квантове число, що вказує значення проекції спіна електрона на вісь z (спінова координата).
Рівняння для хвильової функції електрона знаходиться з принципу мінімума повної енергії системи [3]
. (2.5)
Тут символ позначає інтегрування по просторовим координатам xi, yi, zi і підсумовування по спіновій координаті
.
Зазначимо, що штрихи біля другої і третьої сум можна опустити, оскільки члени з i = j в цих сумах знищуються.
Нормування багато електронної хвильової функції Y забезпечено умовами ортонормованості одноелектронних хвильових функцій:
,
; (2.6)
(2.7)
Оскільки оператори і
не залежать від спінових змінних σ, то підсумовування у виразі (2.5) може бути виконано незалежно від інтегрування по просторових координатах x, y, z. Враховуючи (2.7), одержимо:
. (2.8)
Вводячи неозначені множники Лагранжа λij, умову мінімуму функціоналу Е (2.8) з додатковими умовами (2.6) запишемо у вигляді
. (2.9)
Підставляючи (2.8) в (2.9) та записавши у лівій частині варіацію величин при зміні функції , одержимо рівняння
, (2.10)
де оператор Фока визначається рівністю
. (2.11)
Виконуючи унітарне перетворення функції , що діагоналізує матрицю
, в результаті одержимо рівняння самоузгодженого поля Хартрі-Фока
. (2.12)
Рівняння (2.12) можна подати у вигляді
, (2.13)
де – потенціальна енергія електрона в деякому ефективному полі, що створюється всіма іншими електронами, яка в наближенні Хартрі – Фока визначається рівністю
. (2.14)
Перший член у (2.14) визначає звичайний кулонівський потенціал електронного заряду, другий – потенціал обмінної взаємодії, яка не має класичного аналогу. Потенціал обмінної взаємодії виникає внаслідок врахування антисиметрії хвильової функції (2.3) системи відносно перестановки просторових і спінових координат будь-якої пари електронів. Він враховує кореляцію у русі електронів з однаковими проекціями спінів.
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 341 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!