Определение матричных передаточных функций с помощью преобразования Лапласа

Передаточная функция - одно из самых важных и центральных понятий теории управления. При их определении используется преобразование Лапласа, самым главным достоинством которого является алгоритмизация дифференциальных уравнений, т.е. переход от операций дифференцирования и интегрирования к операциям, соответственно, умножения и деления в области изображений. Прямое и обратное преобразование Лапласа определяется соотношениями:

прямое:

обратное:

где s – комплексная переменная,

σ – абсцисса абсолютной сходимости физического сигнала.

Все физически реализуемые сигналы имеют преобразование Лапласа и представлены в справочниках.

Передаточной функцией звена или системы называют отношением изображения выходной величины к изображению входной величины при условии, что система в начальный момент находится в состоянии покоя (начальные условия равны нулю).

Векторно-матричные передаточные функции

Везде имеем в виду векторы

Здесь I – единичная матрица

Умножим слева на

- матричная пер.функция от входа к вектору состояния

- матричная пер. функция от входа к выходу

Рассмотрим для примера пассивный четырехполюсник

- характеристический многочлен системы

- матрица алгебраических дополнений

- присоединенная матрица

Можно проверить по правилу электротехники: например ток

Введем понятие передаточной функции для звена с одним входом и одним выходом и определим процедуру её вычисления в этом случае

В реальных физически реализуемых системах обычно m ≤ n.

Перейдем от дифференциального уравнения к его представлению в операторном виде:

Умножим на коэффициенты, приведем подобные и все слагаемые, содержащие начальные условия, объединим в один полином и перенесем его в правую часть:

- изображение выходного сигнала

Для определения передаточной функции начальные условия должны быть нулевые, тогда N₀(s)=0, значит:

Примеры:

1. Определение передаточной функции по дифференциальному уравнению.

2. Запись дифференциального уравнения по передаточной функции.

Передаточная функция дает нам количественную связь между входом и выходом. Графически эта связь представляется в виде звена.