Гармонический осциллятор. Вынужденные колебания, дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Резонанс

Гармонический осциллятор – это система, в которой могут возбуждаться гармонические колебания.

Колебание – это движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.

Гармонические колебания – это колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Описываются уравнением:

Здесь А – максимальное значение колеблющейся величины, называемой амплитудой колебания, – круговая (циклическая) частота, - начальная фаза колебания в момент времени - фаза колебания в момент времени .

Вынужденные колебания – это колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Примером служат колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение

Где – максимальное значение вынужденной силы, – циклическая частота колебаний вынуждающей силы.

– дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Это уравнение делим на m

Обозначим ; ; .

Если внешняя сила не действует, т.е. , то – уравнение свободных колебаний.

r – коэффициент сопротивления среды.

- сила сопротивления

- коэффициент характеристики сопротивления среды

Если сопротивление отсутствует, т.е. , то - уравнение собственных колебаний системы.

- частота собственных колебаний системы.

Неоднородные колебания

Будем искать решение в виде: .

Решение:

Если , то частота собственных колебаний равна частоте вынужденных колебаний.

Т.е. - это максимальное значение амплитуда – амплитуда резонанса колебаний.

Если , т.е. трение внешнее мало или отсутствует, то амплитуда стремится к бесконечности.

Резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой частоте собственных колебаний системы.