Числовой ряд. Задание числового ряда. Частичные суммы. Сходимость и расходимость ряда

Рядом называется сумма бесконечного числа слагаемых. Слагаемые могут быть вещественными числами, комплексными или функциями кого-нибудь аргумента.

Если слагаемые являются числами, ряд называется числовым, и тогда его можно записать в следующем виде а₁+а₂+а₃+..+a_n

Частичной суммой ряда называется сумма первых n-слагаемых этого ряда. С рядом можно связать последовательность частичных сумм: S₁=a₁; S₂=a₁+a₂; ……………; S_n=a₁+a₂+..a_n.Эта бесконечная последовательность может иметь прел, а может и не иметь. Если последовательность частичных сумм имеет предел, то говорят, что ряд сходится и это предел называется суммой ряда S=limS_n (над равно def, предел n стремиться к ∞). Если последовательность частичных сумм не имеет предела то ряд называется расходящимся.

Геометрическая прогрессия. Сходимость и расходимость геометрической прогрессии.

Ряд из геометрической прогрессии это ряд вида a₀+a₀q+a₀q²+…+a₀q^n-1+…

Рассмотрим частичную сумму S_n= a₀+a₀q+a₀q²+…+a₀q^n-1

qS_n=a₀q+a₀q²+…+a₀qⁿ

qS_n=S_n+1-a₀

qS_n=S_n-a₀qⁿ-a₀

S_n(q-1)=a₀(qⁿ-1)

S_n=(a₀(qⁿ-1))/(q-1)

S=lim(a₀(qⁿ-1))/(q-1) n→∞

Если |q|<1 ряд сходится S=a0/(1-q)

Если |q|=1 ряд расходится

Если |q|>1 ряд расходится

36)

37)