Билет 2. 1. Квадратичная форма как однородный многочлен второй степени от нескольких переменных

1. Квадратичная форма как однородный многочлен второй степени от нескольких переменных. Матрица квадратичной формы и её ранг. Преобразование переменных квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Положительно определённая вещественная квадратичная форма. Критерий Сильвестра. Нормальный вид и сигнатура вещественной квадратичной формы. Закон инерции.

Квадратичной формой двух переменных называется однородный многочлен второй степени относительно этих переменных: .

Матрица вида называется матрицей квадратичной формы.

Квадратичная форма имеет канонический вид тогда и только тогда, когда её матрица имеет диагональный вид .

. .

Рангом квадратичной формы А называется ранг матрицы А. Ранг квадратичной формы не изменяется при невырожденных преобразованиях неизвестных.

Свойства квадратичной формы:

1)Матрица квадратичной формы симметрическая

2)Симметрическая матрица с вещественными элементами имеет вещественные собственные числа.

3)Собственные векторы, соответствующие различным вещественным собственным числам, ортогональны.

В ортонормированном базисе из собственных векторов квадратичная форма имеет канонический вид:

, где и - собственные числа матрицы квадратичной формы.

При этом формулы преобразования координат имеют вид: , где первый и второй столбец матрицы перехода T являются координатами соответственно первого и второго собственных векторов матрицы А, причем определитель матрицы T>0.

Рассмотрим вещественные (действительные) квадратичные формы, коэффициенты которых являются действительными числами, а переменные принимают действительные значения. Любую вещественную форму можно привести к каноническому виду

(1)

при помощи линейной невырожденной замены переменных с действительной матрицей. Коэффициенты квадратичной формы являются действительными числами.

Количество положительных (отрицательных) коэффициентов в каноническом виде (1) называется положительным (отрицательным) индексом квадратичной формы, а разность положительного и отрицательного индексов называется сигнатурой квадратичной формы. Квадратичная форма, приведенная к каноническому виду: . Её положительный индекс , отрицательный индекс равен 1, а сигнатура .

Вещественнаяквадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если для любых . Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы называются определенными (знакоопределенными). Если неравенство выполняется для любых значений , то квадратичная форма называется неотрицательно (неположительно) определенной. В этом случае говорят, что квадратичная форма полуопределенная. Если же квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то она называется неопределенной (знакопеременной). Определенность, полуопределенность и неопределенность квадратичных форм обозначается неравенствами

соответственно.

Поскольку каждой вещественной квадратичной форме соответствует ее матрица, то эта терминология переносится на действительные симметрические матрицы. Например, симметрическая матрица называется положительно определенной, если такой является квадратичная форма . Определенность, полуопределенность и неопределенность симметрической матрицы обозначаются неравенствами

соответственно.

Критерий Сильвестра. Для того чтобы вещественная квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы были положительны:

(2)

Для отрицательной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров ее матрицы чередовались, начиная с отрицательного:

(3)

В самом деле, рассмотрим первое утверждение теоремы (о положительной определенности). Достаточность условий (2 и 3) следует из теоремы Якоби, так как при выполнении этих неравенств квадратичная форма приводится к каноническому виду

с положительными коэффициентами при квадратах переменных . Ясно, что для всех , т.е. для всех .

Для доказательства необходимости рассмотрим квадратичную форму переменных . Матрица этой формы представляет собой левый верхний блок матрицы данной квадратичной формы (звездочкой , как обычно, обозначены блоки, не существенные для рассуждений). Из положительной определенности следует положительная определенность формы . Тогда следует, что , но — угловой минор k-го порядка матрицы . Таким образом, для , что и требовалось доказать. Второе утверждение сводится к первому, если рассмотреть квадратичную форму .

Закон инерции квадратичных форм гласит: число положительных, отрицательных и нулевых канонических коэфициентов квадратичной формы не зависит от преобразования, с помощью которого квадатичная форма приводится к каноническому виду.

Число положительных канонических коэфициентов квадратичной формы называется положительным индексом инерции квадратичной формы. Число отрицательных канонических коэфициентов квадратичной формы называется отрицательным индексом инерции квадратичной формы. Разность междуположительным и отрицательным индексами квадратичной формы называется сигнатурой квадратичной формы. Число ненулевых канонических коэффициентов называется рангом квадратичной формы.