Бином Ньютона. Система линейных уравнений и их классификация

1.

Система линейных уравнений и их классификация

Уравнение вида

, (1)

где – действительные числа, – переменные (неизвестные), называется линейным уравнением с n неизвестными.

Числа в уравнении (1) называются коэффициентами линейного уравнения, число в уравнении (1) называется свободным членом линейного уравнения.

Уравнение вида

называется однородным линейным уравнением с n неизвестными.

Пусть дана система из m линейных уравнений с n неизвестными:

(2)

Здесь линейных уравнений снабжены нижними двойными индексами. Они образуют матрицу

. (3)

Матрица А, элементами которой являются соответствующие коэффициенты линейных уравнений системы называется матрицей этой системы.

Столбец называется столбцом свободных членов системы (2).

Матрица

называется расширенной матрицей системы (2) и обозначается .

Столбец называется столбцом неизвестных членов системы (2).

Система линейных уравнений называется однородной, если каждое уравнение системы является однородным.

Другими словами, систему линейных уравнений называют однородной, если столбец свободных членов системы является нулевым.

Уравнение (1) можно рассматривать как частный случай системы (2) при и тоже можно называть системой линейных уравнений, состоящей из одного уравнения и n неизвестных.

Про систему вида (2) говорят, что она записана в развернутом виде. Или говорят, что система записана в скалярной форме.

Если воспользоваться правилом умножения матриц и определением равенства матриц, то систему линейных уравнений можно записать в матричной форме:

или .

Обозначим – -й столбец матрицы А. Тогда систему (2) можно записать в виде:

.

Такую форму записи системы линейных уравнений называют векторной, т.к. в этом равенстве столбец В представлен в виде линейной комбинации столбцов матрицы системы. А столбец есть вектор векторного пространства столбцов соответствующей высоты.

Системы различаются по внешнему виду и в этом случае их называют так же, какова их матрица коэффициентов: квадратная, треугольная, диагональная, ступенчатая и т.п.

Системы классифицируют и по множеству их решений.

Определение. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной в противном случае.

Совместные системы также классифицируют по множеству решений.

Определение. Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Пространство решений однородной системы линейных уравнений и нахождение его размерности и базиса методом Гаусса

Для решения следующей системы уравнений:

запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

Проведём следующие действия:

• К строке 2 добавим: −4 × Строку 1.
• К строке 3 добавим: −9 × Строку 1.

Получим:

• К строке 3 добавим: −3 × Строку 2.
• Строку 2 делим на −2

Rang(A)=3 и rang(A|B)=3

Так как ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы, то наша система совместна то есть имеет решение.

Далее запишем соответствующие уравнения 1*z=0 => z=0

1*y+3/2*z= -1/2

Y+3/2*0= -1/2

Y=-1/2

X-1/2+0=0 => x=1/2

Общее решение однородной системы линейных уравнений и структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений

Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю.

Решение: чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:

Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду. Первое действие направлено не только на получение единичного значения, но и на уменьшение чисел в первом столбце:

(1) К первой строке прибавили третью строку, умноженную на –1. Ко второй строке прибавили третью строку, умноженную на –2. Слева вверху я получил единицу с «минусом», что зачастую намного удобнее для дальнейших преобразований.

(2) Первые две строки одинаковы, одну из них удалили. Честное слово, не подгонял решение – так получилось. Если выполнять преобразования шаблонно, то линейная зависимость строк обнаружилась бы чуть позже.

(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3.

(4) У первой строки сменили знак.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная система:

Алгоритм работает точно так же, как и для неоднородных систем. Переменные , «сидящие на ступеньках» – главные, переменная , которой не досталось «ступеньки» – свободная.

Выразим базисные переменные через свободную переменную:

Ответ: общее решение:

геометрическая интерпретация системы линейных уравнений от трех переменных

Уравнение с тремя переменными вида

описывает плоскость в трехмерном пространстве. Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными — это точки пространства, принадлежащие одновременно трем плоскостям, которые описываются уравнениями системы. В этом случае возможны следующие варианты: а) три плоскости пересекаются в одной точке, и система имеет единственное решение; б) три плоскости пересекаются по одной прямой — система имеет бесчисленное множество решений (все точки на этой прямой); в) две плоскости совпадают, а третья пересекает их — бесчисленное множество решений (все точки прямой — на пересечении трех плоскостей), ранг системы равен двум; г) все три плоскости совпадают — все точки общей плоскости являются решениями, и ранг системы равен единице; д) хотя бы одна из плоскостей параллельна какой-либо из двух других — система несовместна; е) плоскости пересекаются попарно по параллельным прямым — система несовместна. В последних двух случаях несовместность системы уравнений обусловлена тем, что нет таких точек трехмерного пространства, которые принадлежали бы одновременно всем трем плоскостям.

2.

Производящие функции, их классификация, действия над ними

Пусть дана некоторая последовательность чисел . Образуем степенной ряд

Если этот ряд сходится в какой-то области к функции , то эту функцию называют производящей для последовательности чисел Например, из формулы

вытекает, что функция является производящей для последовательности чисел. А формула (10.1) показывает, что для последовательности чисел . производящей является функция .

Бином Ньютона

(10.7)

Равенство (10.7) принято называть формулой бинома Ньютона. Если положить в этом равенстве , то получим

(10.8)