Задача о площади криволинейной трапеции

К понятию опредёлённого интеграла приводит задача отыскания площади криволинейной трапеции. Фигуру, ограниченную графиком положительно определённой функции , вертикальными прямыми , и осью назовём криволинейной трапецией (рисунок 7.1).

Отрезок точками разобьём на элементарных отрезков . На каждом отрезке возьмём произвольную точку и построим прямоугольник с основанием и высотой, равной . Площадь этого прямоугольника будет равна . Прямоугольников, покрывающих криволинейную трапецию, будет . В результате этого построения получим ступенчатую фигуру, площадь которой равна

.

– интегральная сумма функции на отрезке .

Будем увеличивать число делений отрезка . Тогда ступенчатая фигура всё меньше будет отклоняться от криволинейной трапеции . Введём – наибольшую из длин рассматриваемых частичных отрезков. При число частичных отрезков будет неограниченно увеличиваться, а их длины будут стремиться к нулю. Пусть предел интегральной суммы при существует, конечен и не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек , тогда он принимается за площадь криволинейной трапеции и называется определённым интегралом от функции по отрезку :

. (7.6)

Числа и – нижний и верхний пределы интегрирования; – переменная интегрирования, – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение.

Замечание 1. Введённое понятие определённого интеграла даёт возможность в некоторых случаях вычислить интеграл исходя из его геометрического смысла.

Пример 1. , так как площадь фигуры, ограниченной прямой , вертикальными прямыми и и осью (площадь квадрата со стороной 1) равна 1 (рисунок 7.2).

Пример 2. . Интеграл есть площадь треугольника под прямой (рисунок 7.3).

Замечание 2. Определённый и неопределённый интегралы – это разные понятия. Неопределённый интеграл – это семейство функций, а определённый интеграл – это число.

Замечание 3. Непрерывность функции на отрезке является достаточным условием её интегрируемости. Однако требование к функции можно ослабить. Если функция ограничена на и имеет конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке. В дальнейшем будем предполагать подынтегральную функцию непрерывной.

Замечание 4. Площадь области , ограниченной сверху кривой , снизу – кривой , слева и справа соответственно прямыми и (рисунок 7.4), находится по формуле

. (7.7)

Если криволинейная трапеция расположена ниже оси , т.е. функция на отрезке (рисунок 7.5), то её площадь вычисляется следующим образом:

. (7.8)

7.3.2 Основные свойства определённого интеграла

1. Определённый интеграл – это число. Его значение зависит только от подынтегральной функции и от пределов интегрирования, но не от переменной интегрирования, которую можно обозначить любой буквой:

2. Если , то .

3. и .

4. .

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

6. Определённый интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

.

7. Аддитивность. Если функция интегрируема на отрезках и , то она интегрируема и на отрезке , причём выполняется равенство:

.

8. Если , то .

9. Если , то .

10. Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке найдётся такая точка , что справедливо равенство:

.

Производная интеграла с переменным верхним пределом. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на любом отрезке , вложенном в . Рассмотрим определённый интеграл

.

Теорема 7.1. (о существовании производной у интеграла с переменным верхним пределом). Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда функция имеет производную в любой точке , причём .

Формула Ньютона – Лейбница. Лейбниц и Ньютон сыграли выдающуюся роль в развитии дифференциального и интегрального исчисления. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) – немецкий философ и математик, физик и юрист, историк и языковед. Он ввёл определения дифференциала и интеграла, ему мы обязаны использованием знаков дифференциала и интеграла использованием терминов «функция», «переменная», «координаты», «абсцисса» и многим другим. Английский физик и математик Исаак Ньютон (1643 – 1727) – родом из деревни, в юности бедный студент, чудом спасшийся во время эпидемии чумы. С.Вавилов писал, что «на всей физике лежит индивидуальный отпечаток его мысли; без Ньютона наука развивалась бы иначе». Закон тяготения Ньютона, бином Ньютона, формула Ньютона-Лейбница – перечень научных открытий, которыми мы обязаны ему, огромен. Если составить список выдающихся умов, внёсших наибольший вклад в развитие наук, в частности, в развитие математического анализа, Ньютон и Лейбниц, по-видимому, разделили бы первое – второе места.

Теорема 7.2 (основная формула интегрального исчисления). Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция есть одна из её первообразных на этом отрезке. Тогда

. (7.9)

Доказательство. Функция является первообразной для функции на отрезке . Пусть – любая первообразная для функции . Так как первообразные и отличаются на постоянную, то .

Найдём . При и . Отсюда . Тогда при всех . В частности, при . Окончательно получаем

.

Замечание 1. Формула Ньютона-Лейбница сводит вычисление определённого интеграла от функции к нахождению её первообразной.

Замечание 2. Первым шагом при вычислении определённого интеграла является нахождение первообразной, вторым – вычисление значения первообразной функции в точках и . Потому удобно формулу Ньютона-Лейбница записывать в виде:

. (7.10)