Замена переменной и интегрирование по частям.Для определенного интеграла, как и неопределенного, имеют место формулы замены переменной и интегрирования по частям

Теорема. Пусть выполняются следующие условия: 1) функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [ a, b ]; 2) функция x=g(t) имеет непрерывную производную на [α,β]; 3) [ a,b ] = [g (α),g(β)]. Тогда справедлива формула замены переменных в определенном интеграле

.

При использовании этой формулы замены переменных необходимо проверять выполнение перечисленных в теореме условий. Если эти условия нарушаются, то может быть получен и неверный результат.

Пример. Вычислить .

Решение. Рассмотрим подстановку , . Проверим законность такой подстановки. Во-первых, функция непрерывна на отрезке .Во-вторых, функция дифференцируема на отрезке и непрерывна на . В-третьих, при изменении t от 0 до функция изменяется от 0 до 1, причем и . Таким образом, данная подстановка удовлетворяет всем условиям теоремы. Применяя формулу замены переменных, получаем

.

Теорема. Пусть функции u (x) и v (x) непрерывны и имеют непрерывные производные на отрезке [ a, b ]. Тогда справедлива формула интегрирования по частям для определенных интегралов:

или

.

Примеры. Вычислить1) .

Решение. Положим ; отсюда и по формуле интегрирования по частям находим

2) .