Основные методы интегрирования

Метод преобразования подынтегральной функции. Метод основан на преобразовании f (x) к такому виду, чтобы интеграл сводился к вычислению нескольких табличных интегралов.

Примеры. 1) .

2) .

3)

.

4)

.

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10)

Иногда возможно преобразование подынтегрального выражения с выделением дифференциала новой переменной интегрирования (простейшая замена переменной).

Примеры. 1) .

2) .

3) , .

4) .

5) .

Метод замены переменной (метод подстановки). Имеет место следующая теорема, которая обосновывает метод:

Теорема. Пусть выполняются условия: а) f (x) определена на промежутке ;

б) определена на промежутке Т и ; в) непрерывна и дифференцируема на Т; г) f (x) имеет первообразную F (x) на Х. Тогда справедлива формула:

.

Применение этой формулы удобно тогда, когда вместо ,обозначив получаем интеграл , который вычислять проще, чем исходный.

Примеры.

1)

.

2)

.

3)

.

4)

Это табличный интеграл 8 или 9 в зависимости от знака . Заменой вычисляются такжеследующие интегралы:

; ; .

5)Вычислить интеграл .

Решение. Положим , тогда . Отсюда . Тогда

.

Возвращаясь к переменной х, окончательно получаем

.

Замечание. При замене переменной в неопределенном интеграле иногда более удобно задавать не х как функцию , а, наоборот, задавать t как функцию от х.

6) Вычислить интеграл .

Решение. Положим , , тогда

,

так что

.

Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет известные трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.

7) Вычислить интеграл .

Решение. Положим , откуда . Таким образом

,

так что

.

8)Вычислить интеграл .

Решение. Положим , . Тогда

9)Вычислить интеграл , .

Решение. Положим , , тогда

.

При аналогично получим

.

10) . Положим , тогда , . Имеем

, .

11) . Положим , тогда , . Находим

При интегрировании некоторых иррациональных функций используютсятригонометрические подстановки.

12) . Положим , , тогда . Следовательно,

, .

13) . Положим , ; тогда . Поэтому

, .

Интегрирование по частям. Следующая теорема доказывает формулу интегрирования по частям.

Теорема. Если функции u (x) и v (x) непрерывны на промежутке Х, дифференцируемы во внутренних точках и существует интеграл , тогда на промежутке существует и интеграл , причём справедлива формула

или

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Примеры. 1) . .

3)

.

4)

.

Иногда для вычисления интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз.

5)

Таким образом, интеграл вычислен двукратным интегрированием по частям.

4.3. Определённый интеграл (Интеграл Римана)

Определение интеграла по Риману. Рассмотрим некоторый отрезок [ a, b ] R. Множество точек называется разбиением отрезка [ a, b ]. Разбиение будем обозначать буквой Т ([ a, b ]) . Число будем называть максимальным шагом или просто шагом разбиенияТ. Очевидно, и .

Пусть функция f (x) определена на отрезке [ a, b ], Т – разбиение отрезка [ a, b ]. Для каждого i выберем произвольную точку , i = .Выражение называется интегральной суммой для функции f (x) при данном разбиении Т и выбранных точках (i = 1, 2, …, n).

Определение. Функция f (x) называется интегрируемой по Риману на отрезке [ a, b ] если существует конечный предел I интегральных сумм при стремлении к нулю шага разбиения h (T), при любом разбиении Т отрезка [ a, b ] и независимо от выбора точек .

Этот предел называется интегралом Римана или определенным интегралом, обозначение

.

Предел понимается в том смысле, что число точек разбиения Т неограниченно растёт при h →0, а выбраны произвольным образом.

Если , то .

Свойства интегрируемых функций

1. Пусть . Тогда, если f (x)интегрируема на отрезках и , то она интегрируема на , причем

2. Еслифункции f (x) и g (x) интегрируемы на , тогда их сумма также интегрируема на и справедливо равенство:

.

3. Пусть f (x) интегрируема на и с - постоянная. Тогда функция cf (x) также интегрируема на , причем

.

4. Если функция f (x)интегрируема на и , то

.

5. Если и функции интегрируемы, то .

6. Если функция f (x) интегрируема на , то также интегрирума на и выполняется неравенство:

.

7. Если и функция f (x)интегрируема на , то , причем, если , то .

8. Пустьфункция f (x) интегрируема на отрезке и ограничена наэтом отрезке, т.е. . Тогда справедлива формула

и , что

Значение называется средним значением на [ a, b ].

Классы функций, интегрируемых по Риману. Следующие функции являются интегрируемыми по Риману:

• Непрерывные на отрезке функции;

• Ограниченные на отрезке функции, имеющие конечное число точек разрыва;

• Монотонные на отрезке функции;