Вычисление определенного интеграла

Формула Ньютона-Лейбница.Введем понятие интеграла с переменным верхним пределом. Пусть функция f(x) интегрируема на любом отрезке, содержащемся в интервале (а,b),и снекоторая фиксированная точка из этого интервала. Тогда каково бы ни было число (a,b)функция f(x)интегрируема на отрезке [c,x] и в интервале(a,b) может быть определена следующая функция,которая называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема. Любая непрерывная в интервале (a, b) функция f (x) имеет в этом интервале первообразную, причем одной из первообразных является функция

, где .

Следствия. 1)Из теоремы и определения интеграла следует существование производной от интеграла с переменным верхним пределом, причем

,

т.е. производная от интеграла с переменным верхним пределом равна подинтегральной функции.

2) Если f (x) интегрируема на любом отрезке, лежащем в [ a, b ], то интеграл с переменным верхним пределом представляет непрерывную функцию.

Теперь получим основную формулу интегрального исчисления. Ранее было отмечено, что любые две первообразные отличаются друг от друга на постоянную величину. Тогда по можно утверждать, что любая первообразная Ф(x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и имеет вид:

,

где С – некоторая постоянная.

Положим здесь x=a, а затем x=b:

, .

Откуда следует формула

,

которая называется формулой Ньютона-Лейбница

Таким образом, для вычисления определенного интеграла от функции f (x) нужно найти разность значений её первообразной (любой!) для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Примеры. Вычислить интегралы:

1)

2)