Замена переменных в двойных и тройных интегралах

Для вычисления двойного интеграла иногда удобнее перейти в другую систему координат.
Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой

где выражение представляет собой так называемый якобиан преобразования , а S − образ области интегрирования R, который можно найти с помощью подстановки в определение области R. Отметим, что в приведенной выше формуле означает абсолютное значение соответствующего определителя.
Предполагая, что преобразование координат является взаимно-однозначным, обратное соотношение описывается якобианом

при условии, что знаменатель нигде не равен 0.
Итак, замена переменных в двойном интеграле производится с помощью следующих трех шагов:

1. Найти образ S в новой системе координат для исходной области интегрирования R;

2. Вычислить якобиан преобразования и записать дифференциал в новых переменных ;

3. Заменить в подынтегральном выражении исходные переменные x и y, выполнив, соответственно, подстановки и .

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных.
Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями:

Предполагается, что выполнены следующие условия:

1. Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;

2. Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw;

3. Якобиан преобразования I (u,v,w), равный

отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.

Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:

В приведенном выражении означает абсолютное значение якобиана.