Правила преобразования структурных схем управления. Связь между передаточными функциями разомкнутой и замкнутой систем

Обычно структурная схема САР состоит из отдельных элементов, соединенных последовательно, параллельно или с помощью обратных связей. Каждый элемент имеет один вход и один выход и заданную передаточную функцию. Существуют следующие правила структурных преобразований, позволяющие по передаточным функциям отдельных элементов опреде­лить требуемую передаточную функцию. При последовательном соединt нии элементов передаточные функции перемножаются. Для построения передаточной функции системы между заданными входом и выходом нужно преобразовать структурную схему так, чтобы в конечном счете остался один блок с известной передаточной функцией. Для этого используют структурные преобразования. Легко показать, что передаточные функции параллельного и последовательного соединений равны соответственно сумме и произведению исходных передаточных функций:

Действительно, в изображениях по Лапласу для параллельного соединения получаем

Y_(s)= Y_1(s)+ Y_2(s)= W_1(s)X_(s)+ W_2(s)X_(s)=[ W_1(s)+ W_2(s)] X_(s)

а для последовательного

Y_(s)= W_2(s)Y_1(s)=W_1(s)W_2(s) X_(s)

Для контура с отрицательной обратной связью имеем

Для доказательства заметим, что Y_(s)= W_1(s)E_(s), а изображение ошибки равно

E_(s) =X_(s)-F_(s)= X_(s)-F_(s)= X_(s)- W_2(s) Y_(s)

_{Поэтому}

Y_(s)= W_1(s)[X_(s) - W_2(s)Y_(s)]

Перенося X_(s) в левую часть, получаем

Y_(s)= [1+ W_1(s)W_2(s)]= W_1(s)X_(s) => Y_(s)=W_1(s)/ 1+ W_1(s)W_2(s)

Если обратная связь – положительная (сигналы x и f складываются), в знаменателе будет стоять знак «минус»:

Y_(s)=W_1(s)/ 1- W_1(s)W_2(s)

Звено можно переносить через сумматор как вперед, так и назад. Чтобы при этом передаточные функции не изменились, перед сумматором нужно поставить дополнительное звено:

Для следующей пары это условие тоже выполняется:

Звено можно переносить также через точку разветвления, сохраняя все передаточные функции:

Эти две схемы тоже равносильны: