Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств

При решении уравнений и неравенств смешанного типа приходится применять свойства элементарных функций: область определения, область значений, монотонность, ограниченность, четность и нечетность, периодичность.

Ограниченность множества значений функции

Уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений f(x)=A; g(x)=A , если для всех x X справедливы неравенстваf(x) A и g(x) A.

Монотонность функции

1) Если функция f возрастает (убывает) на множестве X, то уравнение f(x)=A на множестве X имеет не более одного корня.

2) Если функция f возрастает (убывает), а функция g убывает (возрастает) на множестве X, то уравнение f(x)=g(x)на множестве X имеет не более одного корня.

3) Если f(x) - монотонно возрастающая функция, то уравнения f(x)=x и f(f(x))=x равносильны.

Периодичность функции

1) Сумма двух функций с соизмеримыми периодами T₁ и T₂ является функция с периодом НОК(T₁,T₂).

2) Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами является непериодической функцией.

3) Не существует периодических функций, не равных константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа.