Тригонометрические уравнения и неравенства. Методы решения тр. уравнений и неравенств

При решении тригонометрических неравенств вида , где --- одна из тригонометрических функций, удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записать ответ. Основным методом решения тригонометрических неравенств является сведение их к простейшим неравенствам типа . Разберём на примере, как решать такие неравенства.
Пример Решите неравенство .
Решение. Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит .

Для решением данного неравенства будут . Ясно также, что если некоторое число будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на , то также будет не меньше . Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить . Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все .

Ответ. .
Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов.
Решение тригонометрических неравенств графическим методом

Заметим, что если --- периодическая функция, то для решения неравенства необходимо найти его решения на отрезке, длина которого равна периоду функции . Все решения исходного неравенства будут состоять из найденных значений , а также всех , отличающихся от найденных на любое целое число периодов функции .
Пример Решим неравенство .
Решение. Рассмотрим график функции

и выберем из промежутка на оси значения аргумента , которым соответствуют точки графика, лежащие выше оси . Таким промежутком является интервал . Учитывая периодичность функции все решения неравенства можно записать так: .

Ответ.
Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.
Основные методы решения тригонометрических уравнений

1.основные правила равносильного перехода и перехода к уравнению следствию:

1)перенос слагаемых из одной части уравнения в другую;

2)умножение или деление обеих частей уравнения на число или выражение;

3)возведение обеих частей уравнения в квадрат;

4)тождественные преобразования отдельных частей уравнения.

2. Замена переменной(подстановка)

3. Разложение на множители.

4.Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и тойже степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos (или sin) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan.

5. Переход к половинному углу.

6.Введение вспомогательного угла.

7.Преобразование произведения в сумму.

8. Универсальная подстановка.