Теорема отсчетов для сигналов с ограниченным спектром. Спектр выборочного сигнала

Рассмотрим схему рис. 2, с помощью которой можно осуществить переход от непрерывного сигнала к дискретному. На умножитель поступают два колебания: непрерывный сигнал с ограниченным спектром и периодическая с периодом последовательность коротких импульсов, например, прямоугольной формы. Результатом умножения этих колебаний будет сигнал , являющийся последовательностью импульсов, модулированных сигналом , то есть таких импульсов, которые на интервале их длительности пропорциональны сигналу , или, если импульсы последовательности имеют единичную высоту, равняются на интервале времени длительности импульса. Таким образом, с уменьшением длительности импульса высота импульсов последовательности стремится к . Работу схемы иллюстрируют три графика в левой части рис. 3.

Каждому из трех сигналов поставим в соответствие его отображение в частотной области.

Пусть . График функции приведен справа от сигнала . График является качественным, но таким, что подчеркивает тот факт, что
сигнал имеет ограниченный спектр.

Колебание является периодической последовательностью коротких импульсов. Это значит, что его можно представить с помощью ряда Фурье вида

Коэффициенты ряда Фурье

Найдем спектр сигнала , выразив его через спектры колебаний и . Как следует из анализа схемы рис. 2, выборочный (дискретный) сигнал имеет вид

(2)

Пусть . Тогда,

Подставим в эту формулу вместо ряд (2) и изменим порядок интегрирования и суммирования.

Интеграл в правой части этого выражения есть ПФ, то есть

Таким образом, получили следующее важное аналитическое выражение:

(3)

Если его проанализировать, можно сделать такой вывод:

Спектр выборочного сигнала представляет собой спектр исходного непрерывного сигнала , умноженный на , плюс копии спектра сигнала , смещенные на частоты каждой из гармоник периодической последовательности , умноженные на соответствующие этим гармоникам коэффициенты ряда Фурье.

Это показано на рис. 3.

Выше подчеркивалось, что импульсы периодической последовательности имеют длительность и, чем она меньше, тем ближе к . Тогда в идеальном случае последовательность можно задать моделью вида

(4)

Функция (4) – в правой части приведено ее обозначение – называется функцией отсчетов, дискретизации или функцией, которая осуществляет периодическое продолжение.

Дискретный (выборочный) сигнал, для получения модели которого в формуле (2) в качестве используется (4) – периодическая последовательность дельта-фунуций, называется и деальным дискретным (выборочным) сигналом.

Подставим это значениекоэффициентов в (3) и получим спектр идеального дискретного сигнала:

(5)

Спектр идеального дискретного сигнала есть сума бесконечного числа составляющих, каждая из которых является копией спектра исходного непрерывного сигнала , сдвинутая по частоте одна относительно другой на частоту отсчетов f _B и умноженная на постоянную величину 1/D t=f _B.

На рис. 4 приведены спектры исходного непрерывного сигнала и идеальных дискретных сигналов для трех значений частоты отсчетов f _B. Рис. 4а) иллюстрирует случай , рис 4б) – предельный случай и рис. 4в) – случай . На этих же рисунках пунктирными линиями показаны передаточные функции идеальных фильтров нижних частот (ФНЧ) с частотами среза f _С = . Такой идеальный ФНЧ без искажений пропускает на выход только ту часть спектра сигнала, которая принадлежит диапазону частот . В лекции 7 мы рассмотрим идеальные ФНЧ и его свойства.

На трех нижних графиках приведены спектры сигналов на выходе ФНЧ. Можно видеть, что в случаях, когда или , а это как раз то, что требует теорема отсчетов, спектр сигнала на выходе ФНЧ совпадает со спектром исходного непрерывного сигнала. В случае, когда , копии спектров перекрываются, накладываются одна на другую и восстановить исходный сигнал уже невозможно. Спектр сигнала на выходе фильтра для этого случая изображен на рис. 4 в). Видно, что в отличие от двух предыдущих случаев, он не совпадает со спектром исходного сигнала.

При выполнении требований теоремы отсчетов или , процедура дискретизации сигналов с ограниченным спектром не приводит к потерям информации, и исходный сигнал можно полностью восстановить из дискретного сигнала.

Граничное значение частоты отсчетов , когда еще можно восстановить исходный сигнал, называется частотой Найквиста.