Моделирование случайных параметров (чисел) с нормальным распределением

Для моделирования чисел с нормальным распределением используют равномерно распределенные случайные числа в диапазоне (0...1). Вычислительные алгоритмы получения чисел с нормальным распределением основаны на реализации прямого метода или методе, использующем центральную предельную теорему.

При прямом методе моделирования используются специальные формулы, позволяющие преобразовывать пару независимых равномерных в диапазоне (0...1) чисел r ₁ и r ₂ в пару независимых нормальных чисел z ₁ и z ₂:

Получаемые числа z ₁ и z ₂ являются дискретными представителями непрерывной нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданием М (z) - О и средним квадратическим отклонением σ(z)=1, т.е. случайной величины с параметрами m = 0 и σ = 1, называемой обычно стандартной нормально распределенной случайной величиной.

Метод чувствителен к корреляции чисел r ₁ и r ₂. Для уверенного исключения возможной корреляции равномерных чисел r ₁ и r ₂ их целесообразно получать с помощью различных программ.

Нормально распределенную случайную величину х с произвольными параметрами m и σ получают, используя формулу

где z — стандартная нормально распределенная случайная величина (т = 0 и σ = 1).

Поясним теперь метод моделирования, использующий центральную предельную теорему. Согласно этой теореме сумма достаточно большого количества одинаково распределенных случайных величин имеет закон распределения, близкий к нормальному.

Рассмотрим сумму п независимых случайных величин r_i (i = 1,..., п) с равномерным распределением:

В соответствии с теоремами о сложении математических ожиданий и дисперсий независимых случайных величин для х можно записать:

где m_r и σ — МО и СКО равномерно распределенной случайной величины в диапазоне (0...1);

m_x, σ_x — МО и СКО х.

Пронормируем случайную величину х таким образом, чтобы получить стандартную нормально распределенную случайную величину z с параметрами т= 0 и σ = 1. Для этого воспользуемся выражением

(9.5)

Подставим в данную формулу выражение (9.3) и (9.4), получим

Известно, что для равномерного распределения в интервале (0…1)случайной величины

С учетом этого получим:

(9.7)

Чем больше слагаемых в выражении (9.7), тем лучше приближение к нормальному закону с параметрами m = 0 и σ = 1. Исследования показали, что при n =12 метод обеспечивает достаточно хорошее приближение. Формула (9.7) в этом случае принимает вид

Числа х, имеющие нормальное распределение с любыми параметрами т_х и σ_x, получают, как