Теплопроводность цилиндрической стенки

1)Однородная цилиндрическая стенка.
Рассмотрим однородный однослойный цилиндр длиной l, внутренним диаметром d₁и внешним диаметром d₂
Температуры поверхностей стенки – t_ст1 и t_ст2.
Уравнение теплопроводности по закону Фурье в цилиндрических координатах: Q = - λ∙2∙π∙r ·l· ∂t / ∂r или Q = 2·π·λ·l·Δt/ln(d₂/d₁),

где: Δt = t_ст1 – t_ст2 – температурный напор;
λ – κоэффициент теплопроводности стенки.
Для цилиндрических поверхностей вводят понятия тепловой поток единицы длины цилиндрической поверхности (линейная плотность теплового потока), для которой расчетные формулы будут:

q_l = Q/l =2·π·λ·Δt /ln(d₂/d₁), [Вт/м].

Температура тела внутри стенки с координатой d_х:

t_x = t_ст1 – (t_ст1 – t_ст2) ·ln(d_x/d₁) / ln(d₂/d₁).

2). Многослойная цилиндрическая стенка.
Допустим, цилиндрическая стенка состоит из трех плотно прилегающих слоев.
Температура внутренней поверхности стенки –t_ст1,

температура наружной поверхности стенки –t_ст2,

коэффициенты теплопроводности слоев -λ₁, λ₂, λ₃,

диаметры слоев d₁, d₂, d₃, d₄.
Тепловые потоки для слоев будут:
1-й слой Q = 2·π· λ₁·l·(t_ст1 – t_сл1)/ ln(d₂/d₁),
2-й слой Q = 2·π·λ₂·l·(t_сл1 – t_сл2)/ ln(d₃/d₂),
3-й слой Q = 2·π·λ₃·l·(t_сл2 – t_ст2)/ ln(d₄/d₃),

Решая полученные уравнения, получаем для теплового потока через многослойную стенку:

Q = 2·π·l·(t_ст1 – t_ст2) / [ln(d₂/d₁)/λ₁ + ln(d₃/d₂)/λ₂ + ln(d₄/d₃)/λ₃]. (Для линейной плотности теплового потока имеем:

q_l = Q/l = 2·π· (t₁ – t₂) / [ln(d₂/d₁)/λ₁ + ln(d₃/d₂)/λ₂ + ln(d₄/d₃)/λ₃]. Температуру между слоями находим из следующих уравнений:

t_сл1 = t_ст1 – q_l·ln(d₂/d₁) / 2·π·λ₁ .
t_сл2 = t_сл1 – q_l·ln(d₃/d₂) / 2·π·λ₂ .

5. Теплопроводность шаровой стенки

Пусть имеется полый шар– внутренний диаметр d₁, внешний диаметрd₂, температура внутренней поверхности стенки –t_ст1, температура наружной поверхности стенки –t_ст2, коэффициент теплопроводности стенки -λ.
Уравнение теплопроводности по закону Фурье в сферических координатах: Q = - λ·4·π·r²· ∂t / ∂r или

Q =4·π·λ·Δt/(1/r₂ - 1/r₁) =2·π·λ·Δt/(1/d₁ - 1/d₂) =
= 2·π·λ·d₁·d₂·Δt /(d₂ - d₁) = π·λ·d₁·d₂·Δt / δ

где: Δt = t_ст1 – t_ст2 – температурный напор;
δ –толщина стенки.