Теоретические положения. Классический метод решения задач на переходные процессы в разветвленных цепях с постоянными параметрами

Классический метод решения задач на переходные процессы в разветвленных цепях с постоянными параметрами, в которых осуществляется коммутация (включение, выключение, переключение, изменение параметров цепи и т.п.), сводится к следующему:

1. Для послекоммутационного режима составляется система интегро-дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа.

2. Искомый ток (или напряжение) представляют в виде суммы

(7.1)

Принужденные составляющие могут быть найдены обычными методами расчета установившегося процесса в цепи после коммутации.

3. Общая формула свободного тока:

, (7.2)

где n – порядок характеристического уравнения;

– значение корней характеристического уравнения;

– постоянная интегрирования.

4.Характеристическое уравнение.

Наиболее простой способ составления характеристического уравнения цепи состоит в следующем:

а) записывают формулу входного сопротивления цепи в комплексной форме ;

б) в формуле производят замену сомножителя на р;

в) полученное выражение Z (p) приравнивают к нулю

. (7.3)

5. Начальные условия.

Для определения постоянных интегрирования используются начальные условия.

В электрических цепях выполняются следующие законы коммутации: токи в индуктивных катушках и напряжения на конденсаторах в момент коммутации не изменяются скачками, т.е. они являются непрерывными функциями времени:

(7.4)

Эти начальные условия являются независимыми начальными условиями. Все остальные зависимые начальные условия определяются по законам Кирхгофа с применением законов коммутации.

6. Операторный метод расчета переходных процессов.

В основу операторного метода положено следующее: переходные процессы в электрических цепях описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, при использовании операторного метода действительные функции времени, называемые оригиналами, заменяют их операторными изображениями.

Связь между оригиналом и его изображением устанавливается с помощью интеграла Лапласа:

. (7.5)

Операторные изображения напряжения на индуктивности и емкости при ненулевых начальных условиях определяют по формулам:

(7.6)

Законы Кирхгофа в операторной форме.

Первый закон Кирхгофа:

. (7.7)

Второй закон Кирхгофа.

В общем случае при ненулевых начальных условиях для какого-либо контура, содержащего ветвей,

, (7.8)

где и – начальные значения тока, проходящего через катушку индуктивности, и напряжения на конденсаторе в ветви k;

– операторное сопротивление ветви k.

Если изображение искомого тока или напряжения имеет вид рациональной дроби , причем многочлены (относительно р) и удовлетворяют следующим условиям: степень ниже степени , а корни уравнения различны, то оригинал определяется по теореме разложения:

. (7.9)

7. Расчет переходных процессов в электрической цепи при помощи интеграла Дюамеля.

Большой класс радиотехнических и вообще электротехнических задач связан с исследованием процессов, протекающих под воздействием кратковременных внешних возмущений, длительность которых соизмерима с длительностью переходных процессов. В этом случае рекомендуется воспользоваться интегралом Дюамеля:

, (7.10)

где – значение воздействующего возмущения на входе цепи при t=0;

– переходная проводимость;

– производная от заданного напряжения, в которой t заменено на ;

– в переходной проводимости t заменено на .

Если необходимо рассчитать напряжение переходного процесса на некотором участке, то надо определить переходную функцию по напряжению и воспользоваться формулой (7.10).