Метод Ньютона для нелинейной краевой задачи

Этот метод заключается в сведении решения нелинейных задач к серии линейных задач.

Рассмотрим следующую краевую задачу.

y″ = f (x, y, y′), 0 <x< 1; (6.34)

y (0) = y ₀; y (1) = y ₁.

Пусть известна некоторая функция y ₀(x), удовлетворяющая граничным условиям и грубо приближенно равная искомому решению y (x).

Положим

y (x) = y ₀(x) + v (x), (6.35)

где v (x) – поправка к нулевому приближению y ₀(x). Подставим (6.35) в (6.34) и линеаризуем задачу, используя равенства

y″ (x) = y ₀ ″ (x) + v″ (x);

Отбрасывая остаточный член второго порядка малости по v и v′, получим линейную краевую задачу для поправки :

(6.36)

где

Решая эту задачу, например, конечно-разностным методом с применением метода прогонки, найдем приближенно поправку и примем y ₁(x) = y ₀(x) + (x) за следующее приближение и т.д.

ЛИТЕРАТУРА

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. Изд.3-е, испр., М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966.- 664 с.

2. Калиткин Н.Н. Численные методы. – Наука, 1978. – 512 с.

3. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1989. – 536 с.

4. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами: Пер. с англ./ Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979.- 832 с.

5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 600 с.

6. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. –М.: Наука, 1989. –432 с.

7. Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 288 с.

8. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 288 с.

9. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. – М.: Высшая школа, 1990. – 534 с.

10. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. – 280 с.

11. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1990. – 336 с.