![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Применение конечно-разностных методов к краевым задачам в основном сводится к довольно тривиальной процедуре. Любая производная в дифференциальном уравнении заменяется соответствующей конечно-разностной аппроксимацией.
Рассмотрим, например, линейное дифференциальное уравнение вида
y'' + p (x) y' +q (x) y = f (x), a < x < b (6.20)
с граничными условиями
x=a: a 1 y (a) +b 1 y' (a) =g 1; (6.21)
x=b: a 2 y (b) +b 2 y' (b) =g 2. (6.22)
Введем на отрезке [ a, b ] разностную сетку a = x 0, x 1, x 2 ,…, xN = b с шагом .
В каждой внутренней точке заменим производные центральными разностями (аппроксимация порядка O (h 2)). Получаем систему разностных уравнений:
(6.23)
k= 1, 2, …,N– 1.
Построим разностную аппроксимацию краевых условий со вторым порядком точности. Для этого разложим y 1 в ряд Тейлора в окрестности точки x 0:
Отсюда .
Аналогично для точки xN- 1.
.
Разностные уравнения (6.2) вместе с граничными соотношениями составляют систему из N+ 1 линейных алгебраических уравнений с N+ 1 переменной y 0, y 1, …, yN.
y 0 + l 1 y 1 = m 1;
akyk– 1 + ckyk + bkyk+ 1 = dk; k =1… N– 1;(6.24)
l2yN– 1 + yN = m 2;
где ak = 1 – pk; ck = h2qk – 2; bk = 1 +
pk; dk = h2fk.
Или в развернутом виде:
Таким образом, краевая задача сводится к решению системы уравнений c трехдиагональной матрицей:
A y = d.
Мы уже знаем, что для решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей используется метод прогонки. Известно, что для устойчивости прогонки необходимо диагональное доминирование матрицы коэффициентов, т.е.
|ck| ³ |ak| + |bk|; 1 ³ |l 1 |; 1 ³ |l 2 |
или в нашем случае
| h 2 qk – 2 | ³ | 1 –hpk / 2 | + | 1 +hpk / 2 |.
Из этого соотношения можно получить ограничение на шаг для конкретных значений qk, pk.
Сходимость же решения (и область сходимости) необходимо исследовать особо. Или – другой путь. Провести расчет для разных значений шага (не менее трех) и убедиться в том, что полученные значения функции в одних и тех же узлах близки между собой и их разность уменьшается, что говорит о стремлении решения к некоторому пределу при h® 0.
Если же краевая задача нелинейная (нелинейно уравнение и/или граничные условия), то в результате применения конечно-разностного метода получается система нелинейных уравнений
A (x, y) y = d (x, y) или F (y) = 0.
Для решения систем нелинейных уравнений используются в основном итерационные способы, например метод Ньютона:
y (m +1) = y (m) – F (y (m))/ F ′ (y (m)),
где F ′ (y (m)) – матрица Якоби.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 450 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!