Конечно-разностные методы

Применение конечно-разностных методов к краевым задачам в основном сводится к довольно тривиальной процедуре. Любая производная в дифференциальном уравнении заменяется соответствующей конечно-разностной аппроксимацией.

Рассмотрим, например, линейное дифференциальное уравнение вида

y'' + p (x) y' +q (x) y = f (x), a < x < b (6.20)

с граничными условиями

x=a: a ₁ y (a) +b ₁ y' (a) =g ₁; (6.21)

x=b: a ₂ y (b) +b ₂ y' (b) =g ₂. (6.22)

Введем на отрезке [ a, b ] разностную сетку a = x ₀, x ₁, x ₂ ,…, x_N = b с шагом .

В каждой внутренней точке заменим производные центральными разностями (аппроксимация порядка O (h ²)). Получаем систему разностных уравнений:

(6.23)

k= 1, 2, …,N– 1.

Построим разностную аппроксимацию краевых условий со вторым порядком точности. Для этого разложим y ₁ в ряд Тейлора в окрестности точки x ₀:

Отсюда .

Аналогично для точки x_{N- 1}.

.

Разностные уравнения (6.2) вместе с граничными соотношениями составляют систему из N+ 1 линейных алгебраических уравнений с N+ 1 переменной y ₀, y ₁, …, y_N.

y ₀ + l ₁ y ₁ = m ₁;

a_ky_{k– 1} + c_ky_k + b_ky_{k+ 1} = d_k; k =1… N– 1;(6.24)

l₂y_{N– 1} + y_N = m ₂;

где a_k = 1 – p_k; c_k = h²q_k – 2; b_k = 1 + p_k; d_k = h²f_k.

Или в развернутом виде:

Таким образом, краевая задача сводится к решению системы уравнений c трехдиагональной матрицей:

A y = d.

Мы уже знаем, что для решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей используется метод прогонки. Известно, что для устойчивости прогонки необходимо диагональное доминирование матрицы коэффициентов, т.е.

|c_k| ³ |a_k| + |b_k|; 1 ³ |l ₁ |; 1 ³ |l ₂ |

или в нашем случае

| h ² q_k – 2 | ³ | 1 –hp_k / 2 | + | 1 +hp_k / 2 |.

Из этого соотношения можно получить ограничение на шаг для конкретных значений q_k, p_k.

Сходимость же решения (и область сходимости) необходимо исследовать особо. Или – другой путь. Провести расчет для разных значений шага (не менее трех) и убедиться в том, что полученные значения функции в одних и тех же узлах близки между собой и их разность уменьшается, что говорит о стремлении решения к некоторому пределу при h® 0.

Если же краевая задача нелинейная (нелинейно уравнение и/или граничные условия), то в результате применения конечно-разностного метода получается система нелинейных уравнений

A (x, y) y = d (x, y) или F (y) = 0.

Для решения систем нелинейных уравнений используются в основном итерационные способы, например метод Ньютона:

y ^{(m +1)} = y ^(m) – F (y ^(m))/ F ′ (y ^(m)),

где F ′ (y ^(m)) – матрица Якоби.