Жесткие задачи

Жесткие уравнения – такие уравнения, которые моделируют процессы, обладающие свойством жесткости. Подобные процессы описываются суперпозицией функций двух видов: с большими по модулю производными и с малыми по модулю производными, причем функции с большими производными быстро изменяются. Такие задачи часто встречаются при исследовании динамических систем в химической кинетике, электротехнике, механике сплошных сред, в теории управления.

Для численного моделирования быстропротекающих процессов необходим малый шаг интегрирования. Однако на тех участках, где существенны функции с малыми производными, уменьшение шага ведет к увеличению погрешности (вычислительной) и увеличению времени решения задачи. Указанным дефектом страдают явные методы, для которых существуют ограничения на шаг.

Рассмотрим систему дифференциальных линейных уравнений вида:

,

где y и f – векторы, A = { a_i,j } – постоянная матрица, у которой все собственные значения l_i имеют отрицательные вещественные части (i, j = 1, …, M). Таким свойством обладает, например, симметричная матрица. Общее решение записанной системы уравнений может быть представлено в виде суммы частных решений

,

где - собственный вектор, соответствующий собственному значению l_i.

Эту систему называют жесткой, если отношение

,

где S – коэффициент жесткости.

На практике система считается жесткой, если S > 10, однако в задачах химической кинетики, в задачах управления, в расчетах электрических цепей коэффициент S достигает величин ~10⁶ и более.

Посмотрим на поведение решения для жесткой системы из двух уравнений:

.

Пусть и l – вещественные.

Для того чтобы смоделировать первую составляющую решения, необходим очень мелкий шаг (т.к. оно быстро затухает). Казалось бы, после прохождения первого промежутка, где скорость изменения решения определяется скоростью изменения первой составляющей, шаг интегрирования мог бы быть увеличен. Однако это сделать нельзя, т.к. в явных методах существует ограничение на шаг, обусловленное устойчивостью

Получается так, что допустимый шаг определяется, фактически, той компонентой решения, которая быстрее убывает. Поэтому использование явных схем в таких ситуациях крайне нерационально.

Для решения жестких дифференциальных уравнений применяются неявные схемы. Хотя при этом приходится на каждом шаге решать в общем случае систему нелинейных уравнений, но за счет возможности значительно увеличить шаг h общий объем вычислений в случае использования неявных схем может быть существенно меньше, чем явных [11].