Разностная схема Эйлера

Рассмотрим задачу Коши: ; y (a) =y ₀. Отрезок [ a,b ]делим N узлами на шаги (для простоты будем рассматривать равномерное деление)

h = x_{k+ 1} – x_k = (b – a) /N.

Вместо искомой функции y будем рассматривать сеточную функцию y_k, определенную в узлах сетки.

Метод Эйлера основан на разложении искомой функции y (x) в ряд Тейлора в окрестностях узлов, в котором отбрасываются все члены, содержащие производные второго и более высоких порядков:

y (x_k + h) = y (x_k) +y' (x_k) h +o (h ²).

Заменяем значения функции y в узлах x_k значениями сеточной функции y_k:

y_{k+ 1} = y_k +y′_kh.

Из исходного уравнения следует, что y′_k = f (x_k,, y_k). Получаем формулу метода Эйлера:

y_{k+ 1} = y_k +hf (x_k, y_k). (6.3)

Локальная погрешность схемы Эйлера (ошибка на одном шаге) равна

При k= 0 y ₁ = y ₀ +hf (x ₀, y ₀),

где необходимое значение y ₀известно из начального условия.

При k= 1: y ₂ = y ₁ +hf (x ₁, y ₁) и т.д.

Получаем набор рекуррентных формул, с помощью которых значение сеточной функции у_{k+ 1}в любом узле x_k вычисляется по ее значению y_k в предыдущем узле x_k. Поэтому метод Эйлера относят к одношаговым методам.

Какой порядок аппроксимации имеет схема Эйлера?

По определению (см. выше), R_k = f_k – L_k y (x_k). Следовательно, в нашем случае , т.е. . Это означает, что схема Эйлера имеет первый порядок аппроксимации.

Покажем, что схема Эйлера сходится, т.е. при h ®0, и имеет первый порядок точности, т.е. . Доказательство будем вести в предположении, что

Сразу отметим, что из этих ограничений вытекает следующее:

y″ = f′_x + f′_yy′_x £ M ₂ +M ₃ M ₁ = M ₄.

Рассмотрим разность между значением сеточной функции и искомой функции в точках x_{k+ 1}, т.е.

или

.

Запишем подряд несколько раз это неравенство для разных k, обозначив c= 1 +hM ₃:

d_k £ cd_{k –1} + o (h ²), d_{k– 1} £ cd_{k –2} + o (h ²), …, d ₁ £ cd ₀ + o (h ²)

и выразим d_k через d ₀.

d_k £ c ² d_{k –2} + с×o (h ²) + o (h ²) £ c ³ d_{k –3} + с ² ×o (h ²) + c×o (h ²) + o (h ²) £ … £

£ c^kd ₀ + с^{k –1} o (h ²) + с^{k– 2} o (h ²) +…+ c×o (h ²) + o (h ²).

В частности, ошибка d_N в конечной точке интервала будет содержать сумму N членов с c^k×o (h ²), т.е.

d_N £ c^Nd ₀ + N×O (h ²) = =c^Nd ₀ + O (h).

Таким образом, если начальные данные заданы точно (т.е. d ₀ = 0), то при h® 0 d® 0 и d=O (h), т.е. разностная схема Эйлера обеспечивает сходимость с первым порядком точности.

Геометрический смысл схемы Эйлера – замена функции y (x) на отрезке [ х_k, х_{k +1}] отрезком касательной, проведенной к графику в точке х_k (рис.6.1). Из уравнения касательной По схеме Эйлера .

Рис.6.1 – Геометрическая интерпретация схемы Эйлера