Евклидовы пространства

Пусть V=(V,+,W) – линейное пространство над полем R. Будем говорить, что в линейном пространстве V задано скалярное умножение, если задано отображение V´V®R, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1° "a,bÎV ((a,b)=(b,a))

2° "a,b,cÎV ((a+c,b)=(a,b)+(c,b))

3° "a,bÎV"lÎ R ((la,b)= l(a,b))

4° "aÎV (a¹0Þ(a,a)>0)

Следствие из аксиом. Если a=0 или b=0, тогда (a,b)=0.

Примеры

1. Рассмотрим линейное пространство векторов на плоскости, а скалярное произведение определим так:

Самостоятельно показать, что все аксиомы выполняются.

2. Если рассмотреть множество функций, непрерывных на сегменте [a,b], ввести операции сложения и умножения на действительное число, получим линейное пространство. Скалярное произведение в этом пространстве можно ввести следующим образом:

(f (x) ,g (x))= .

Самостоятельно показать, что все аксиомы выполняются.

Определение. Линейное пространство, в котором введено скалярное умножение, называется Евклидовым пространством.

В любом n-мерном линейном пространстве можно ввести скалярное умножение векторов. Действительно, пусть V – n-мерное линейное пространство и e₁,e₂,…,e_n – базис этого пространства, тогда любой вектор линейного пространства V можно представить как линейную комбинацию векторов базиса, то есть "a,bÎV(а= , b= ). Введем операцию умножения векторов по правилу

(a,b)= ÎR.

Проверим, будет ли данное умножение скалярным произведением, для этого проверим все аксиомы

1° "a,bÎV ((a,b)= = =(b,a))

2° "a,b,cÎV ((a+c,b)= = (a,b)+(c,b))

3° "a,bÎV"lÎ R ((la,b)= = l(a,b))

4° "aÎV (a¹0Þ(a,a)= >0)

Все аксиомы выполнены, следовательно, мы получили евклидово пространство. Это говорит о том, что любое конечномерное линейное пространство можно преобразовать в евклидово. Далее будем рассматривать евклидовы пространства и обозначать их Е⁽ⁿ⁾.

Определение. Назовем длиной вектора а величину, равную арифметическому квадратному корню из скалярного квадрата

ô а ô= .

Определение. Назовем углом между векторами a¹0 и b¹0 угол

j=arccos , 0£j£p.

Докажем корректность этого определения, то есть нужно показать, что

-1£ £1Û £1Û £1.

Рассмотрим скалярный квадрат вектора a-lb, где lÎ R, имеем

(a-lb, a-lb)=(a, a-lb)+(-lb, a-lb)=(a,a) +(a,-lb)+(-lb, a)+(-lb,-lb)=

=(a,a)-l(a,b)- -l(b,a)+ l²(b,b)= l²(b,b)-2l(a,b)+(a,a)³0 "lÎR.

Если рассмотреть последнее соотношение как квадратное неравенство относительно переменной l, тогда имеем (b,b)>0, и неравенство верно "lÎR, следовательно,

D=(a,b)²-(a,a)(b,b) £0Û (a,b)²£(a,a)(b,b) Û £1, что и требовалось доказать.

Из неравенства (a,b)²-(a,a)(b,b) £0 можно получить интересное следствие.

Пусть дано пространство, и скалярное произведение в нем определено следующим образом (a,b)= , тогда получим

()²- £0Û(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)²£(a₁²+…+ a_n²)(b₁²+…+ b_n²).

Это неравенство Коши – Буняковского.

Определение. Два вектора a¹0 и b¹0 называются ортогональными, если угол между ними равен 90° или (a,b)=0.

Определение. Система векторов

a₁,a₂,…,a_s (1)

называется ортогональной, если любая пара векторов этой системы ортогональна, то есть

"i¹j ((a_i,a_j)=0).

Теорема. Ортогональная система векторов линейно независима.

Доказательство

Пусть система векторов (1) – ортогональная. Рассмотрим их линейную комбинацию

a₁a₁+a₂a₂+…+a_sa_s=0 (2)

и покажем, что равенство 0 обязательно влечет за собой равенство нулю всех коэффициентов. Умножим обе части равенства (2) скалярно на a₁, получим

(a₁a₁+a₂a₂+…+a_sa_s,a₁)=(0,a₁) Û (a₁a₁,a₁)+(a₂a₂,a₁)+…+(a _sa_s ,a₁)=0 Û

Ûa₁(a₁,a₁)+ a₂(a₂,a₁)+…+ a _s(a_s ,a₁)=0,

но (a_i,a_j)=0, если i¹j, то есть (a₂,a₁)=…=(a_s ,a₁)=0. Следовательно, получаем

a₁(a₁,a₁)=0 и (a₁,a₁)>0, отсюда a₁=0. Аналогично, умножая равенство (2) скалярно на a₂,…,a_s, получим a₂=…=a_s=0, что и требовалось доказать, следовательно, система векторов (1) линейно независима.

Из доказанной теоремы следует, что всякая ортогональная система векторов евклидова пространства линейно независима. Возникает вопрос о переходе от линейно независимой системы векторов к ортогональной, содержащей такое же количество векторов. Такой процесс называется процессом ортогонализации. Дадим индуктивное определение процесса ортогонализации:

1. Пусть система векторов a₁, a₂ (s=2) линейно независима (очевидно, a₁¹0,a₂¹0). Рассмотрим новую систему векторов b₁=a₁, b₂=aa₁+a₂, где a - неизвестный числовой параметр, который найдем из условия (b₁,b₂)=0:

(b₁,b₂)=(a₁,aa₁+a₂)=a(a₁,a₁)+(a₁,a₂)=0 Þ a=- .

Таким образом, мы построили ортогональную систему из двух векторов.

2. Пусть имеем линейно независимую систему векторов

a₁,a₂,…,a_s (1)

Предположим, что для любого k (2£k<s) ортогональная система векторов построена

b₁,b₂,…,b_k.

Добавим еще один вектор b_k+1=a₁b₁+a₂b₂+…+a_kb_k+ a_k+1.

Самостоятельно показать, что b_k+1¹0.

Коэффициенты a_i будем вычислять из условия, что

(b_k+1,b_i)=0Û(a₁b₁+a₂b₂+…+a_kb_k+ a_k+1,b_i)=0Û

a₁(b₁,b_i)+ …+a_i(b_i,b_i)+…+ a_k(b_k,b_i)+(a_k+1,b_i)=0Ûa_i(b_i,b_i)+(a_k+1,b_i)=0Þ

a_i=- .

получим ортогональную систему векторов b₁,b₂,…,b_k b_k+1.

Следствие. Пусть a₁,a₂,…,a_nÎЕ⁽ⁿ⁾ и являются базисом Е⁽ⁿ⁾. Так как базис - это линейно независимая система, то его можно ортогонализировать. Очевидно, полученная ортогональная система векторов также будет базисом пространства Е⁽ⁿ⁾. То есть в любом евклидовом пространстве существует ортогональный базис.

Пусть а¹0ÎЕ⁽ⁿ⁾. Рассмотрим вектор е= . Очевидно, ôеô=1. Операция перехода от вектора а к вектору е называется нормированием, а полученный вектор – нормированным или нормальным. Любой ненулевой вектор можно аналогичным образом пронормировать. Если пронормировать векторы ортогонального базиса, то получим ортонормированный базис евклидова пространства e₁,e₂,…,e_n,где ôе_iô=1"i=1,…,n, (e_i,e_j)= .

Скалярное произведение любых векторов евклидова пространства тогда и только тогда равно сумме произведений одноименных координат, когда эти векторы заданы в ортонормированном базисе.