Изменение координат вектора при переходе к новому базису

Пусть V – n-мерное линейное пространство, e и f - два его базиса, причем

f=Te. Пусть вектор а имеет в базисе e следующий вид:

а=a₁e₁+a₂e₂+…+a_ne_n. (12)

Чтобы найти координаты вектора а в базисе f, перепишем соотношение (12) следующим образом:

a=(a₁,a₂.….a_n) =(a₁,a₂.….a_n) T^-1 ,

так как Т – матрица перехода от базиса e к базису f, то обратная ей матрица Т^-1 – матрица перехода от базиса f к базису е, то есть e=T^-1f. Таким образом,

a=((a₁,a₂.….a_n) T^-1) f.

Чтобы получить координаты вектора а в базисе f, нужно строку координат вектора а в базисе е умножить на матрицу перехода от базиса f к базису е.

(a₁’,a₂’.….a_n’) =(a₁,a₂.….a_n) T^-1