Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Связь между базисами линейного пространства. Матрица перехода от базиса к базису



Рассмотрим линейное n-мерное пространство V и два произвольных базиса этого пространства:

e1,e2,…,en, (1)

f1,f2,…,fn. (2)

Так как векторы системы (1) образуют базис, то любой вектор линейного пространства можно выразить как линейную комбинацию векторов этой системы, в том числе и векторы системы (2):

f1=a11e1+a12e2+…+a1nen

f2=a21e1+a22e2+…+a2nen

……………………….., (3)

fn=an1e1+an2e2+…+annen

где aijÎR.

Составим из коэффициентов матрицу

T= .

Эту матрицу будем называть матрицей перехода от базиса (1) к базису (2). Соотношение (3) можно переписать в матричном виде

(4)

или, если обозначить матрицы =f, =e, тогда в виде

f=Te (5)

Теорема. Матрица перехода от базиса к базису есть невырожденная матрица.

Доказательство

Так как векторы системы (2) – базис линейного пространства, то, аналогично, векторы системы (1) можно представить как линейные комбинации векторов системы (2), то есть можно записать

e =T1f. (6)

Т1 – матрица перехода от базиса (2) к базису (1). Тогда из соотношений (5) и (6) получаем

e=T1f= T1(Te)=(T1T)e (7)

и f=Te=T(T1f)= (TT1)f. (7’)

Обозначим матрицу T1T=S с элементами sij, тогда равенство (7) можно переписать в виде e=Se или

= Û

e1=s11e1+s12e2+…+s1nen

e2=s21e1+s22e2+…+s2nen

…………………………. (8)

en=sn1e1+sn2e2+…+snnen

Так как V – абелева группа по сложению, то соотношения (8) можно преобразовать к виду

(s11 -1)e1+s12e2+…+s1nen=0

s21e1+(s22 -1)e2+…+s2nen=0

………………………… (9)

sn1e1+sn2e2+…+(snn -1)en=0

Так как система векторов (1) – базис, то есть она является максимальной линейно независимой, то из соотношений (9) получаем

sij=0 "i¹j

sij=1 "i=j,

то есть матрица

S= =EÞ T1T= E. (10)

По теореме об определителе произведения матриц, получим

½T1T½=½T1½½T½=½E½=1 ½Т½¹0 и ½T1½¹0.

кроме того, из соотношения (10) следует, что матрицы T1 и T взаимно обратные. Теорема доказана.

Теорема. Пусть V – n-мерное линейное пространство, тогда всякая квадратная невырожденная матрица порядка n есть матрица перехода от некоторого базиса пространства V к другому базису этого же пространства.

Доказательство. Пусть Т=(аij) – невырожденная квадратная матрица порядка n. Пусть e1,e2,…,en – некоторый базис этого пространства. Умножив справа матрицу Т на матрицу столбец

e= ,

получим соотношение вида (5), а, проведя необходимые преобразования, получим соотношение вида (3). Осталось показать, что полученная таким образом система векторов f1,f2,…,fn образует базис линейного пространства. Так как эта система состоит из n векторов, то достаточно показать, что она линейно независима. Предположим противное, пусть система векторов f1, f2, …, fn - линейно зависима, то есть существуют такие действительные числа l1, l2,…, ln, что выполняются соотношения

l1 f1+l2 f2+…+ln fn= =0 (11)

и l12 +l22 +…+ln 2¹ 0. С другой стороны, из соотношения (3) имеем

fi= . Подставляя это выражение в соотношение (11), получим

=0 и l12 +l22 +…+ln 2¹ 0.

Изменив порядок суммирования, получим

=0.

Так как векторы e1,e2,…,en – базис, то

=0 "j=1,2,…,n

Это соотношение говорит о том, что между строками матрицы Т существует линейная зависимость, то есть определитель Т равен 0, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно, и векторы f1,f2,…,fn образуют базис линейного пространства, что и требовалось доказать.





Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 1939 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...