Действия над линейными подпространствами

Пусть L₁ и L₂ - линейные подпространства линейного пространства V. По аналогии с теорией множеств можно рассмотреть операции над линейными подпространствами.

1. Пересечением линейных подпространств L₁ и L₂ называется множество

L₀={x½xÎ L₁ÙxÎL₂}=L₁ÇL₂.

Используя теорему о подпространстве, легко показать, что пересечение двух линейных подпространств линейного пространства V само является линейным подпространством линейного пространства V. Действительно, пусть

x,yÎ L₀Û xÎL₁ÙxÎL₂Ù yÎL₁Ù y ÎL₂Ûx+yÎL₁Ùx+ yÎL₂Û x+ yÎL₀.

Аналогично,

пусть xÎ L₀ и lÎR Û xÎ L₁ÙxÎL₂ÙlÎRÛ lxÎ L₁ÙlxÎL₂ ÛlxÎ L₀.

Оба условия теоремы выполнены, следовательно, L₀ - линейное подпространство линейного пространства V.

2. суммой линейных подпространств L₁ и L₂ линейного пространства V называется множество

=L₁+L₂ ={x½x=x₁+x₂ Ùx₁Î L₁Ùx₂ÎL₂}.

Если представление элементов множества как суммы элементов множеств L₁ и L₂ является однозначным, то сумма называется прямой и обозначается = L₁ÅL₂.

Так как L₁ÌV и L₂ÌV, то, очевидно, ÌV. Покажем, что - линейное подпространство линейного пространства V. Действительно, пусть

x,yÎ Û x=x₁+x₂ Ùx₁Î L₁Ùx₂ÎL₂Ù y=y₁+y₂ Ùy₁Î L₁Ùy₂ÎL₂Û

x+y=(x₁+x₂)+(y₁+y₂)=(x₁+y₁)+(x₂+y₂) Î , так как x₁+y₁Î L₁Ù x₂+y₂ÎL₂.

Аналогично, пусть xÎ Û x=x₁+x₂ Ùx₁Î L₁Ùx₂ÎL₂ и пусть lÎR, тогда

lx₁Î L₁Ùlx₂ÎL₂Ûl x=l(x₁+x₂)= lx₁+lx₂Î .

Оба условия теоремы выполнены, следовательно, - линейное подпространство линейного пространства V.

Примеры

Пусть V – обычное трехмерное геометрическое пространство. L₁ - множество векторов, лежащих в плоскости a, L₂ - множество векторов, лежащих в плоскости b, причем a^b, тогда L₁+L₂ совпадает с пространством V, причем эта сумма не будет прямой, что хорошо видно на примере.

a

b

Теорема. Размерность суммы линейных подпространств равна сумме их размерностей минус размерность пересечения, то есть

dim =dim(L₁+ L₂)=dimL₁+dimL₂-dim L₁Ç L₂

Доказательство

Пусть L₁ и L₂ – линейные подпространства линейного пространства V, обозначим dimL₁=m₁, dimL₂=m₂, L₀=L₁ÇL₂, dimL₀=m₀, =L₁+ L₂, dim = и докажем, что = m₁+ m₂- m_0.

Рассмотрим базис пространства L₀ , он состоит из m₀ векторов:

e₁,e₂,…, (1)

Так как e₁,e₂,…, Î L₀, то e₁,e₂,…, ÎL₁ и e₁,e₂,…, ÎL_2.Дополним систему векторов (1) до базиса пространства L₁:

e₁,e₂,…, , … (2)

и до базиса пространства L₂:

e₁,e₂,…, , … (3)

По определению базиса,

"aÎL₁$a₁,a₂,…, , ,…, ÎR(a=a₁e₁+…+ +…+ ).

Аналогично

"bÎL₁$b₁,b₂,…, , ,…, ÎR(b=b₁e₁+…+ +…+ ).

Теперь рассмотрим линейное пространство

=L₁+L₂ ={x½x=x₁+x₂ Ùx₁Î L₁Ùx₂ÎL₂},

тогда " xÎ имеем x=a+b = =(a₁e₁+…+ +…+ )+(b₁e₁+…+ +…+ ) =

=(a₁+b₁)e₁+…+( + ) + + +… + + + (4)

Из полученного соотношения (4) следует, что произвольный вектор линейного пространства является линейной комбинацией векторов

e₁,e₂,…, , … , … (5)

то есть линейное пространство является линейной оболочкой системы векторов (5). Покажем, что эта система векторов линейно независима.

Предположим противное. Пусть существуют такие действительные числа

l₁, l₂,…, , ,…, , ,…, , что

l₁ e₁ +…+ + +…+ + +…+ =0 (*)

и среди коэффициентов есть отличные от нуля.

Преобразуем последнее равенство

l₁ e₁ +…+ =-( +…+ )=с, где сÎ L₁, так как с=l₁ e₁ +…+ является линейной комбинацией векторов базиса (2). Кроме того, сÎ L₂, так как с=-( +…+ ) – линейная комбинация векторов линейного пространства L₂. Следовательно,

сÎ L₀=L₁ÇL₂, но тогда вектор с можно разложить по базису (1)

с=m₁e₁+m₂e₂+…+ =-( +…+ ).

Отсюда следует

m₁e₁+m₂e₂+…+ + +…+ =0,

так как это - линейная комбинация векторов базиса (3), то равенство нулю означает, что равны нулю все коэффициенты, то есть

m₁=m₂=…= = =…= =0 Û с=0Ûl₁ e₁ +…+ =0, а это линейная комбинация векторов базиса (2), и, следовательно, равенство нулю означает, что равны нулю все коэффициенты, то есть l₁=…= =0. Таким образом, мы получили, что равенство (*) возможно только в том случае, когда все коэффициенты равны нулю, а это, в свою очередь, означает, что система векторов (5) линейно независима. Поэтому система векторов (5) является базисом линейной оболочки , порожденной этими векторами. Число векторов в базисе (5) равно размерности линейного пространства и равно = m₁+ m₂- m₀, что и требовалось доказать.

Следствие. Размерность прямой суммы линейных подпространств равна сумме их размерностей.

Доказательство

Для доказательства достаточно показать, что = L₁ÅL₂.Þ L₁ÇL₂ ={0}.

Действительно, если предположить противное, то есть найдется ненулевой вектор сÎL₁ÇL₂, тогда сÎL₁ и сÎL₂ , следовательно, сÎL₁ и сÎ L₂, сÎL₁ и сÎ L₂, тогда с= с+ с= с+ с. Получили противоречие, L₁ÇL₂ ={0} и следствие доказано.