эллипсоид инерции, главные оси

Выбираем систему декартовых координат с началом в центре О.Проведем через начало координат произвольную ось Оl, образующую с осями координат Ох, Оу и Оz соответственно углы (рис. 28).

Рис. 28

На основании соотношения (3.8) для момента инерции СМТ относительно оси Ol имеем:

. (3.23)

Для прямоугольного треугольника OD_nB_n можно записать

, (3.24)

где ,

(3.25)

Здесь – единичный вектор оси Оl.

Преобразуем соотношение (3.24), с учетом формулы (3.25) и соотношения , следующим образом:

(3.26)

Подставим соотношение (3.26) в соотношение (3.23):

(3.27)

Учтем, что на основании соотношений (3.14) можно записать:

(3.28)

где J_xx, J_yy, J_zz – моменты инерции СМТ относительно координатных осей. Величины

(3.29)

называются произведениями инерции или центробежными моментами инерции СМТ.

С учетом (3.28) и (3.29) соотношение (3.27) примет вид:

(3.30)

Из равенства (3.30) следует, что для определения момента инерции СМТ относительно любой оси, проходящей через начало координат О, достаточно знать шесть величин J_xx, J_yy, J_zz, J_xy, J_yz, J_xz и направление этой оси, определяемое косинусами углов a, b, g. Шесть величин J_xx, J_yy, J_zz, J_xy, J_yz, J_xz зависят от положения точки О и от направления координатных осей, так как с их изменением изменяются x_n, y_n, z_n. Указанные величины можно расположить в виде симметричной матрицы:

, (3.31)

которая называется тензором инерции, элементы этой матрицы называются компонентами тензора инерции.

Для характеристики распределения моментов инерции СМТ относительно различных осей, проходящих через заданную точку, используется поверхность второго порядка – эллипсоид инерции. Для построения этой поверхности на каждой осиl, проходящей через точку , откладывается вектор , модуль которого равен:

. (3.32)

Выразим косинусы углов через координаты вектора :

(3.33)

Подставив в соотношение (3.30) формулы (3.33), получим уравнение поверхности второго порядка:

. (3.34)

Геометрическое место концов вектора располагается на поверхности, которая называется эллипсоидом инерции. Для каждой точки O имеется свой эллипсоид инерции. Эллипсоид инерции для центра масс СМТ называется центральным эллипсоидом инерции. Оси эллипсоида инерции называются главными осями инерции. В общем случае эллипсоид инерции имеет три взаимно перпендикулярные главные оси инерции. Они являются его осями инерции.

Моменты инерции относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции, а относительно главных центральных осей инерции – главными центральными моментами инерции.

Если уравнение эллипсоида инерции отнести к его главным осям Ox', Oy', Oz', то оно примет вид:

, (3.35)

где x', y', z'– текущие координаты точки, расположенной на эллипсоиде инерции, относительно главных осей инерции; – главные моменты инерции.

Центробежные моменты инерции относительно главных осей инерции равны нулю

.