Частные случаи моментов инерции

· Момент инерции однородного тонкого стержня массы М длиной l относительно оси, проходящей через конец стержня перпендикулярно к нему (рис.24).

Используя соотношение (3.11) и учтя, что , получим:

.
. (3.17)

Рис. 24

Если ось z' проходит через середину стержня, то, изменив пределы интегрирования, несложно получить:

. (3.18)

· Момент инерции однородной окружности (тонкого кольца) массы М радиуса r относительно оси, проходящей через центр окружности перпендикулярно ее плоскости (рис. 25).

Рис. 25

Используя соотношение (3.11) и учтя, что

,

получим:

.

. (3.19)

Момент инерции однородного кругового полого цилиндра относительно его оси определяется также по соотношению (3.19).

· Момент инерции однородного тонкого диска массы М радиуса r относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости (рис. 26).

Рис. 26

Используя соотношение (3.11) и учтя, что

( – площадь бесконечно тонкого кольца), получим:

.
. (3.20)

Момент инерции однородного круглого сплошного цилиндра относительно его оси определяется также соотношением (3.20).

· Радиус инерции. В случае сложной конфигурации НМС его момент инерции определяется экспериментально и может быть выражен через радиус инерции. В этом случае момент инерции определяется по формуле:

, (3.21)

где ­­­­­– радиус инерции.

3.3.4. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей – теорема Штейнера-Гюйгенса

Теорема: Момент инерции СМТ относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс, и произведения массы СМТ на квадрат расстояния между осями.

Рис. 27

Пусть известен момент инерции СМТ относительно оси Cz, проходящей через ее центр масс С. Найдем момент инерции СМТ относительно оси Оz', параллельной оси z и отстоящей от нее на расстояние d (рис. 27).

Начало декартовой системы координат выберем в центре масс С, ось Сy проведем так, чтобы она пересекала ось Оz'.

Возьмем произвольную точку В_n СМТ массы m_n с координатами x_n, y_n, z_n. Расстояние от этой точки до оси Cz – h_n, а до оси Оz' – .

На основании соотношения (3.8) момент инерции СМТ относительно оси Оz' имеет вид:

.

Для треугольника СОD из теоремы косинусов следует, что

,

или

, так как .

Подставив в выражение для , будем иметь:

.

Так как , и ,

то для получим:

, (3.22)

что и требовалось доказать.