Апериодическое звено первого порядки

Апериодическим звеном первого порядки называется такое

звено, выходная величина которого в функции времени изменяется по экспоненциальному закону. Апериодические звенья называют также инер­ционными, статическими, релаксационными, одноёмкостными и др.

Инерционное звено описывается дифференциальным уравнением

первого порядка

, (3.7)

где T- постоянная времени звена (Т>0);

k - коэффициент передачи (усиления) звена.

. (3.8)

К апериодическим звеньям можно отнести: R-L и R-C цепи, генераторы постоянного тока, фильтры, термисторы, механические устройства, имею­щие массу и силу трения (без пружин), и другие подобные устройства, в ко­торых возможно накопление какого-либо вида энергии и её рассеивание.

Операторное уравнение апериодического звена

. (3.9)

Передаточная функция звена

. (3.10)

На структурных схемах графически инерционное звено изображается следую­щим образом (рис. 3.4).

Временная характеристика, представ­ляющая реакцию звена на ступенчатое воздействие x_вх(t)=1(t),определяется зависимо­стью x_вых=f(t).

Выходная величина в переходном режиме определяется

,

где вынужденная составляющая выходной величины

.

Свободная составляющая выходной величины x_вых(t) определяется из

следующего выражения

,

где P_k- корни характеристического уравнения звена

,

т.е.

.

Отсюда

,

.

Начальное значение для переходной функции найдется

,

т.е.

или

.

Окончательно получаем следующее выражение для переходной функции:

(3.11)

или

. (3.12)

На рис. 3.5, а приведена временная характеристика, представляющая

собой экспоненту. Время достижения установившегося значения

.

Весовая функция

представлена на рис. 3.5, б.

На структурных и функциональных схемах апериодические звенья ус­ловно изображаются следующим образом (рис, 3,6).

Амплитудно-фазовая характеристика апериодического звена

или

,

где - модуль вектора W(ϳω);

- аргумент вектора W(ϳω).

АФХ представляет собой окружность радиусом ^k /₂ c центром в точке 0, лежащей на оси абсцисс на расстоянии ^k /₂ от начала координат (рис. 3.7).

Уравнения вещественной и мнимой характеристик:

, (3.16)

. (3.17)

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) может

быть получена путём логарифмирования выражения для А(ω).

. (3.18)

В этом выражении слагаемое L₁(ω) = 20lgК представляет посто­янную величину, не зависящую от частоты. Рассмотрим вторую состав­ляющую ЛАЧХ

.

Полагая, что ω²∙T² « 1 (ω <1/Т), получим L₂(ω)=0.

Если ω²∙T²» 1 (ω > 1/T), пренебрегаем единицей и получаем L₂ (ω) = -20∙ lg Т∙ω, что соответствует наклону характеристики, равному -20 дБ/дек.

ЛАЧХ апериодического эвена может быть получена как сумма

L(ω) =L₁(ω) + L₂ (ω), т.е. суммированием ординат этих двух кривых

(рис. 3.8). Следовательно, приближённая ЛАЧХ состоит из двух асимптот. Первая представляет прямую, параллельную оси абсцисс, и отстаёт от неё на расстоянии 20∙ lg k. Вторая наклонена к оси абсцисс с наклоном -20 дБ/дек. Сопряжение горизонтальной и наклонной прямых произво­дится в точке, соответствующей частоте сопряжения ω=1/Т. Частота, при которой L(ω) пересекает ось абсцисс, называется частотой среза.

Приближённая ЛАЧХ называется асимптотической. Такое название

связано с тем, что эта характеристика составлена из двух асимптот, к ко­торым стремится ЛАЧХ при ω→0 и ω→∞.

При ω=1/T

.

Таким образом, максимальное расхождение между истинной и асим­птотической ЛАЧХ равно всего 3 дБ. Поэтому при практических построе­ниях ЛАЧХ статических звеньев первого порядка используют обычно асимптотические ЛАЧХ.

Если частотные характеристики получены экспериментально, по ним не­трудно определить параметры звена Т и k, пользуясь описанной выше зави­симостью между этими характеристиками и передаточной функцией.

На примере этого звена явно видно, что величина полосы пропускания звеном частот, т.е. ширина частотной характеристики, является мерой быстродействие звена. Полоса пропускания частот обычно определяется диапа­зоном частот от , на декаду меньшей минимальной частоты сопряжения, до . на декаду большей макси­мальной частоты сопряжения. Чем больше этот диапазон частот, тем короче его переходная характеристика, т.е. меньше

инерционность звена.