Для любого момента времени t и

, (22)

где - выходной поток.

3.2. Комментарий. Выше приведенное построение процесса имеет простую интерпретацию: на вход системы массового обслуживания (СМО) поступает поток заявок . Затем, поток обслуженных заявок прореживается последовательностью по следующему правилу: если , то она поступает на вход системы массового обслуживания в накопитель необслуженных заявок, т.е. должна быть обслужена снова, последнее означает, что обслуживание произведено некачественно (брак); если , то заявка обслужена качественно (не брак) и она покидает систему массового обслуживания. Ниже на рис. 2 приведена структурная схема СМО с обратной связью.

Рис. 2.

3.3. Для описанных выше систем массового обслуживания справедливы следующие утверждения.

Теорема 12. Пусть – простой процесс обслуживания с обратной связью. Тогда для любого Р - п. н. допускает представление:

,где и определяются (20) и (21), соответственно;

(23)

Теорема 13. Уравнение (23) имеет единственное решение для любого

.

Доказательство утверждений теорем 12, 13 проводится аналогично доказательству теорем 10, 11 §2, поэтому их не приводим.

3.4. Выведем теперь уравнение, описывающее эволюцию распределения вероятности длины очереди, т.е. .

Теорема 14. Пусть точечные процессы и не имеют общих скачков и имеют F – интенсивности , соответственно.

Пусть – процесс обслуживания с обратной связью, описываемый (23), причем – последовательность бернуллиевских случайных величин с , не зависящая от , i =1,2. Пусть .

Тогда удовлетворяет уравнению:

(24)

Доказательство теоремы опирается на утверждение.

3.4.1. Лемма 15. Пусть выполнены условия теоремы 14. Компенсаторы процессов , , , относительно потока и меры P имеют для вид, соответственно:

.

Доказательство. Достаточно найти компенсатор для потока обратной связи . Пусть - предсказуемый ограниченный процесс. Очевидно, что определен интеграл Римана-Стилтьеса и существует . Так как – последовательность бернуллиевских случайных величин, то ясно, что

Отсюда следует утверждение леммы.

3.4.2. Доказательство теоремы 14 почти дословно повторяет доказательство теоремы 10, поэтому его не приводим.

3.5. Возникает вопрос о том, можно ли предложить некоторую методику, позволяющую строить решение уравнения (17) ((24)). Такая методика существует для случая, когда коэффициенты уравнения (17) не зависят от n и t, т.е. и основана на использовании производящих функций распределения . Напомним, производящая функция для распределения вероятностей определяется выражением:

,

где . Умножим левую и правую части (17) на , а затем выполним суммирование по n от нуля до бесконечности. В результате получаем уравнение в частных производных первого порядка с переменными коэффициентами

(25)

Произведем теперь преобразование Лапласа [ ] уравнения (25). Так как,

, то в результате получим из (25)

,

где , и .

Затем, беря обратное преобразование Лапласа относительно , легко, с учетом сделанных предположений, получить, что для любых t, n, i имеет вид:

,

где - обобщенная функция Бесселя первого рода [15] , Г(l)- гамма функция [15].

В общем случае неясно как строить решение уравнения (17). Поэтому возникает проблема разработки асимптотических методов анализа систем массового обслуживания.