Описание простейшей системы массового обслуживания

2.1. Пусть на стохастическом базисе заданы 2 точечных процесса , i =1,2, и неотрицательная, интегрируемая, - измеримая случайная величина .

Определение. Точечный процесс будем называть входным потоком.

Определение. Случайную величину - измеримую будем называть внутренним состоянием или начальной очередью.

Определение. Пусть , а . Процесс назовём простым процессом обслуживания или очередью.

2.2. Теорема 7. Пусть – простой процесс обслуживания. Тогда он допускает представление P –п. н.

. (4)

Доказательство. Момент времени является моментом скачка вниз процесса если и только если выполняются условия: а) ,

б) . Поэтому - п. н.

. (5)

Так как , то из (5) следует, что P - п. н.

. (6)

Из (6) следует, что P - п. н.

. (7)

Очевидно, что P - п. н. для любого , поэтому P - п. н. для любого . Из определения процесса следует, что для любого P - п. н., в силу (7),

Отсюда следует утверждение теоремы.

2.3. Из теоремы 7 вытекает определение.

Определение. Точечный процесс , определяемый равенством , называется выходным потоком.

2.4. Установим условия, при которых уравнение (4) разрешимо. Для этих целей нам понадобится ряд определений. Без ограничения общности можно считать, что .

Определение. Будем говорить, что (4) имеет сильное решение, если для любого - измеримо, Р - п. н. и обращает (4) в тождество.

Определение. Пусть – два решения уравнения (4), причём . Будем говорить, что (4) имеет единственное сильное решение, если Р - п. н., где .

Теорема 8. Уравнение (4) имеет единственное решение.

Доказательство. Из уравнения (4) следует, что для любого Р - п. н.

.

Отсюда следует, что Р - п. н. для любого .

Заметим, что если решение уравнения (4) существует, то оно имеет кусочно-постоянную траекторию. Поэтому доказательство того факта,

что - измеримо проведём по индукции. Пусть - измеримо. Покажем, что - измеримо, где и – марковские моменты, которые нагружают простой процесс обслуживания. Из (4) следует, что при Р - п. н. Поэтому при Р - п. н. .

Из последнего равенства следует, что - измеримо. Таким образом, основной шаг индукции обоснован, а вместе с ним установлено существование решения уравнения (4).

Перейдём теперь к доказательству единственности решения (4). Его мы также проведём по индукции. Пусть – два решения уравнения (4), причём . Так как имеет кусочно-постоянные траектории, то Р - п. н. для

. (8)

Рассмотрим разность . Пусть Р - п. н. Покажем, что Р - п. н. Из (8) следует, что Р - п. н. .

Отсюда следует, что основной шаг индукции доказан, а вместе с ним и утверждение теоремы.

2.5. Комментарии. 1) Из выведенного нами уравнения (4) для простого процесса обслуживания следует описание функционирования системы массового обслуживания (однолинейной). Представим себе, что имеется некоторый поток заявок , поступающий на вход системы, которая представляет собой накопитель заявок и прибор, обслуживающий эти заявки. При этом полагаем, что: а) если прибор обслуживает некоторую заявку, то из накопителя заявки не могут поступить на обслуживающий их прибор; б) если заявка обслужилась прибором, то в прибор поступает следующая заявка и т.д.; в) время, в течение которого заявка обслуживается, определяется как , где – последовательность марковских моментов, которая погружает точечный процесс ,г)после того, как заявка обслужилась, она покидает систему. На рисунке 1 приведена структурная схема системы массового обслуживания

Рис. 1.

( - накопитель, - начальная очередь).

2) Основными задачами теории массового обслуживания являются:

а) математическое описание процессов обслуживания , который указывает, какое количество заявок находится в данный момент времени в системе, т.е. какова длина очереди; б) нахождение распределения вероятностей длины очереди в системе массового обслуживания и ряда других функционалов, заданных траекториях процесса обслуживания.

2.6. Выведем теперь уравнения, описывающие эволюцию во времени распределения вероятностей длины очереди.

Теорема 9. Пусть для любого Р - п. н. Пусть и измеримы интенсивности точечных процессов и , а ,

. Тогда для любого

(9)

Доказательство. Рассмотрим . В силу условий теоремы, имеем

(10)

Заметим теперь, что:

i) . (11)

ii) (12)

Поэтому (10) с учетом (11) и (12) можно переписать в виде:

(13)

Возьмем математическое ожидание относительно левой и правой частей равенства (13). Учитывая, что:

,

,

Имеем

.

В силу теоремы Фубини и того, что мера Лебега одноточечных множеств равна нулю, последнее равенство можно переписать в виде:

(14)

Заметим теперь, что для любого имеем:

i) (15)

,

ii)

. (16)

Поэтому (14) с учетом (15), (16) будет иметь вид (9). Доказательство закончено.

2.7. Следствие 10. Пусть выполнены условия теоремы 9. Тогда для любых и почти всех t существует производная и , удовлетворяет уравнению Колмогорова:

(17)

Доказательство. Из доказательства теоремы 9 следует, что для любого абсолютно непрерывнa относительно меры Лебега. Отсюда, в силу теоремы Радона – Никодима, существует плотность для почти всех t. Отсюда следует утверждение следствия.

2.8. Приведем теперь условия, выполнение которых обеспечивает разре-шимость бесконечной системы уравнений (17).

Теорема 11. Пусть выполняются условия:

i) для любого n и t;

ii) .

Тогда в классе существует единственное решение уравнения (9).