Элементы теории восстановления

Глава 4. Приложения теории точечных процессов.

Введение.

В этой главе мы рассматриваем два направления, в которых применяется теория точечных процессов, теория восстановления и теория массового обслуживания.

Элементы теории восстановления.

1.1. Рассмотрим вероятностное пространство . Пусть на нём задана последовательность неотрицательных, независимых в совокупности, одинаково распределённых, случайных величин , с функцией распределения . Обозначим и . Положим - считающий процесс. Этот процесс в теории восстановления называют простым процессом восстановления, который имеет следующую интерпретацию: в момент времени нуль начинает функционировать некоторое устройство, которое функционирует до момента времени , в момент времени оно выходит из строя, т.е. ломается, его мгновенно ремонтируют и снова это устройство нормально функционирует до момента времени , в момент времени оно выходит из строя и его мгновенно ремонтируют и т. д. Очевидно, что N(t) - это число восстановлений устройства к моменту времени t.

1.2. Обозначим через - функцию распределения случайной величины

, т.е. . Так как , то равно n -кратной свёртке функции распределения , которую обозначим через . Ясно, что .

Обозначим через – среднее число восстановлений за время t, называемое функцией восстановления. Ясно, что . Возникает вопрос: как подсчитать вероятность ?

Теорема 1. .

Доказательство. Очевидно, что . Рассмотрим , очевидно

.

Последнее равенство имеет место, так как . Возьмём теперь математическое ожидание относительно левой и правой частей получившегося равенства. В результате получаем утверждение теоремы.

Доказательство закончено.

1.3. Выведем теперь уравнение, которому удовлетворяет функция восстановления H (t).

Теорема 2. H (t) удовлетворяет уравнению

(1)

(Уравнение (1) называют уравнением восстановления).

Доказательство. Из определения функции восстановления H (t) и теоремы 1, имеем

Так как , то . Поэтому ряд - сходится. Отсюда следует:

.

Поэтому в силу теоремы Фубини имеем:

.

Доказательство закончено.

1.4. Приведём теперь утверждение, касающееся разрешимости уравнения восстановления.

Теорема 3. Пусть . Тогда справедливы следующие утверждения.

1) Уравнение восстановления имеет единственное решение.

2) Если решение уравнения (1) существует и единственно, то оно допускает представление

(2)

Доказательство. 1) Существование следует из сходимости ряда для .

2) Второе утверждение устанавливается путём подстановки (2) в уравнение восстановления. Единственность очевидна. Доказательство закончено.

1.5. Определение. Пусть – последовательность независимых в совокупности положительных случайных величин, причём имеет функцию распределения , – одинаково распределённые случайные величины с функцией распределения F (t), причем . Обозначим . Точечный процесс называется сложным процессом восстановления или процессом восстановления с запаздыванием, а называется функцией восстановления сложного процесса восстановления.

Теорема 4. удовлетворяет уравнению

. (3)

Доказательство почти дословно повторяет доказательство теоремы 2.

1.6. Замечание. Решение уравнений (2) и (3) можно построить с помощью преобразования Лапласа-Стилтьеса. Напомним , () называются преобразованиями Лапласа - Стилтьеса соответственно, функций восстановления H (t) и распределения . Из этих определений следует, что (). Поэтому ().

Отметим также, если существует плотность , то существует обратное преобразование Лапласа. В этом случае легко установить, что существует , называемая плотностью функции восстановления, которая удовлетворяет уравнению

.

Если ,

то . Кроме того, .

1.7. Приведём теперь формулировки одного из центральных утверждений теории восстановления.

Теорема 5 (Элементарная теорема восстановления). Пусть . Пусть P – п.н. при . Тогда при .

Доказательство (набросок). Так как – точечный процесс, то - п. н. . Разделим правую и левую части этого неравенства на , имеем - п. н.

.

Очевидно - п. н. при . Поэтому при в силу закона больших чисел. Доказательство закончено.

1.8. Для формулировки ряда других утверждений напомним некоторые определения из теории вероятностей.

Определение. Точка а называется точкой роста функции распределения F (x), если из того, что " b > a, следует, что F (b)> F (a).

Определение. Распределение F (x) называется решетчатым, если существует число такое, что множество точек роста кратно . Если такого числа не существует, то такое распределение называется неарифметическим.

Теорема 6. (Блекуэлла) Пусть – неарифметическая функция распределения. Тогда , где .