Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов , и называется число . Геометрический смысл смешанного произведения состоит в том, что: , где -объём параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Смешанное произведение обладает свойствами:

1) ; 2) ;

3) ; 4) и -компланарны ;

Для векторов , и , заданных координатами , , смешанное произведение вычисляется по формуле: .

Некоторые приложения смешанного произведения:

1) Вычисление объёмов тетраэдра и параллелепипеда, построенных на векторах , и , как на рёбрах: .

2) Определение ориентации упорядоченной тройки векторов в пространстве: если , то тройка правая; если , то - левая.

3) Установление компланарности векторов , и :

и - компланарны.

4) Установление принадлежности четырёх точек одной плоскости:

2.88 Векторы образуют правую тройку, взаимно перпен-дикулярны и Вычислить .

2.89 Векторы образуют левую тройку. Найти , если

2.90 Определить ориентацию тройки векторов если:

А); б).

2.91 Доказать тождества:

а)

б)

2.92 Вычислить произведения, если :

А) б).

2.93 Проверить, компланарны ли векторы

a) ;

б)

2.94 При каком векторы будут компланарны?

а)

б)

2.95 Установить, образуют ли векторы базис в множестве всех векторов, если

a) ;

б)

2.96 Проверить лежат ли точки в одной плоскости

а) , B (1,2,1), C (2,3,0), ;

б) A (7,0,3), , , .

2.97 Вычислить объём тетраэдра , если , , .

2.98 Объем тетраэдра равен 5, три его вершины находятся в точках , B (3,0,1), . Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси ординат.

2.99 В тетраэдре вершины которого расположены в точках , , , , найти длину высоты .

2.100 Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах За основание взят параллелограмм, построенный на векторах и

2.101 В треугольной призме векторы и определяют основание, а вектор направлен по боковому ребру. Найти объем призмы и ее высоту.

2.102 Даны три некомпланарных вектора отложенных от одной точки О. Найти длину вектора где Н - ортогональная проекция точки О на плоскость АВС.