![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называется совокупность точки (начало координат) и правого ортонормированного базиса
и обозначается
. Прямые
,
,
, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются координатными осями:
– осью абсцисс,
– осью ординат,
– осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями. Базис
-называется правым, если из конца вектора
кратчайший поворот от вектора
к
виден совершающимся против хода часовой стрелки, в противном случае он – левый.
Проекцией вектора на вектор
называется число
. Ортом вектора
, называется вектор
, имеющий единичную длину и направление вектора
:
.
Пусть - произвольная точка пространства, в котором введена система координат
=
. Радиус-вектором точки
называется вектор
, представляемый единственным образом в виде:
, где числа
являющиеся координатами радиус-вектора, совпадают с проекциями вектора
на базисные орты
и
(на координатные оси
и
):
;
;
. Координатами точки
в системе координат
называются координаты её радиус-вектора
и пишут
. В свою очередь, координаты точки
полностью определяют её радиус-вектор
.
Всякий геометрический вектор в системе координат
, всегда можно представить как радиус-вектор некоторой точки и записать в виде:
. Представление геометрических векторов в координатной форме, позволяет выполнять действия над ними, как над арифметическими векторами, по формулам:
;
.
Условие коллинеарности (параллельности) векторов и
, заданных координатами, записывается в виде:
,
.
Длина вектора
, определяется формулой:
. Направляющими косинусами вектора
называются числа:
,
,
, при этом
.
Координаты вектора , заданного двумя точками
и
находятся по формуле:
.
Расстояние между точками
и
определяется как длина вектора
и находится по формуле:
.
Координаты точки делящей отрезок
в отношении
находятся по формулам:
,
,
(при
отрезок
точкой
делится пополам).
2.27 Заданы векторы ,
,
.
Найти: а) и координаты орта
;
б) координаты вектора .
2.28 Заданы векторы ,
,
.
Найти: а) и координаты орта
;
б) координаты вектора .
2.29 Найти длину и направляющие косинусы вектора если
.
2.30 Определить координаты вектора , если известно, что он направлен в противоположную сторону к вектору
, и его модуль равен 5.
2.31 Найти вектор , коллинеарный вектору
, образующий с ортом
острый угол и имеющий длину
.
2.32 Найти координаты вектора , длина которого равна 8, зная, что он образует с осью Ox угол
, с осью Oz - угол
, а с осью Oy - острый угол.
2.33 Найти вектор , образующий с ортом
угол
, с ортом
- угол
, если
.
2.34 Найти вектор , образующий со всеми тремя базисными ортами равные острые углы, если
.
2.35 Определить расстояние между двумя точками:
а) и
;
и
;
б) и
;
и
.
2.36. Определить ординату точки , зная, что абсцисса ее равна
, а расстояние до точки
равно
.
2.37 На оси ординат найти точку, отстоящую от точки на расстояние 5 единиц.
2.38 На оси абсцисс найти точку, равноудаленную от начала координат и точки
2.39 На оси Oz найти точку, равноудаленную от точек: и
2.40 Один из концов отрезка находится в точке А (2,3), его серединой служит точка
. Найти другой конец отрезка.
2.41. Найти вершины треугольника , зная середины его сторон:
,
2.42 Даны середины сторон треугольника Найти координаты его вершин.
2.43 Вычислить длину медиан треугольника, зная координаты его вершин:
2.44 Даны две точки и
. В каком отношении делит отрезок
точка С пересечения отрезка АВ с биссектрисой первого и третьего координатных углов?
2.45 Даны две смежные вершины параллелограмма ABCD: и В( 2,6) и точка пересечения его диагоналей М (3,1). Найти две другие вершины параллелограмма.
2.46 Найти точку , равноудаленную от трех точек:
2.47 На координатной плоскости найти точку, одинаково удаленную от трех точек:
и
2.48 Найти точку М, отстоящую от точки на расстояние 9, зная направляющие косинусы вектора
: 2/3,
,1/3.
2.49 Зная две противоположные вершины ромба и С( 10,11), найти две другие его вершины при условии, что длина стороны ромба равна 10.
2.50. Дана точка Найти точку В при условии, что точка С пересечения прямой
с осью ординат делит отрезок
в отношении, равном
, а точка D пересечения прямой с осью абсцисс делит отрезок
в отношении
.
2.51 Даны две вершины треугольника: Найти третью вершину С, зная, что середина стороны АС лежит на оси 0y, а середина стороны ВС на плоскости 0xz.
2.52 Найти отношение, в котором плоскость 0yz делит отрезок
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 1606 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!