Векторное произведение векторов

Векторным произведением векторов и называется вектор , определяемый условиями: 1) ;

2) и ; 3) - правая тройка векторов.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из конца третьего вектора , кратчайший поворот от первого вектора ко второму , виден совершающимся против хода часовой стрелки. В противном случае, тройка называется левой.

Из определения векторного произведения следует, что:

.

Векторное произведение обладает свойствами:

1) ; 2)

3) ; 4) , где - число;

Для векторов канонического базиса :

, , , , , .

Для векторов и , заданных координатами , векторное произведение вычисляется по формуле:

.

Некоторые приложения векторного произведения:

1) Вычисление площадей треугольника и параллелограмма, построенных на векторах и , как на сторонах: .

2) Установление параллельности векторов и : .

3) Определение момента силы , приложенной в точке относительно некоторой точки пространства : .

2.71 Вычислить, если :

а) ; б) .

2.72 Упростить выражения:

а) б) ;

в) ; г) .

2.73 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах единичные векторы, величина угла между которыми равна 60°.

2.74 Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы и , где - единич-ные векторы и

2.75 Найти координаты вектора , если:

a) б)

2.76 Даны векторы . Найти координаты вектора: а) ; б) .

2.77 Определить, при каких значениях и вектор будет коллинеарен вектору если

А); б).

2.78 Найти вектор ,

если .

2.79 Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках , , .

2.80 В треугольнике с вершинами в точках найти высоту

2.81 Даны два вектора: Найти вектор единичной длины, перпендикулярный к векторам , и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов имела положительную ориентацию.

2.82 Вектор , перпендикулярный оси Oz и вектору образует острый угол с осью Ox. Зная, что , найти его координаты.

2.83 Найти координаты вектора , если известно, что он перпендикулярен векторам и , образует с ортом тупой угол и .

2.84. Найти координаты вектора , если он перпендикулярен векторам и , а также удовлетворяет условию .

2.85 Сила приложена к точке . Определить момент этой силы относительно начала координат.

2.86 Сила приложена к точке . Определить момент этой силы относительно точки .

2.87 Даны три силы, приложенные к точке : . Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки .