Проверка статистических гипотез. Правило, по которому принимается решение принять или отклонить основную гипотезу , называется критерием проверки гипотезы

Статистической гипотезой называют любое предположение относительно параметров или вида распределения генеральной совокупности (случайной величины) . Гипотезы относительно неизвестного значения параметра распределения генеральной совокупности (случайной величины) называются параметрическими и непараметрическими в иных случаях. Статистическая гипотеза называется простой, если она однозначно определяет распределение , в противном случае она называется сложной. Проверяемая гипотеза называется основной и обозначается . Наряду с гипотезой рассматривают одну из альтернативных гипотез , противоречащих основной. Например, если проверяется гипотеза о равенстве параметра распределения некоторому заданному значению , т.е. , то в качестве альтернативной гипотезы, как правило, рассматривается одна из следующих гипотез: , , . Выбор альтернативы определяется конкретной постановкой задачи.

Правило, по которому принимается решение принять или отклонить основную гипотезу , называется критерием проверки гипотезы. Критерий задают с помощью критического множества , где - выборочное пространство (множество всех возможных значений случайной выборки ). Решение принимают на основе выборки наблюдаемых значений случайной величины , используя для этого подходящую статистику , называемую статистикой критерия . При проверке параметрической гипотезы в качестве статистики критерия выбирают ту же статистику, что и при оценивании параметра .

Решение принимают следующим образом: 1) если выборка , то принимают основную гипотезу ; 2) если выборка , то основную гипотезу отклоняют и принимают альтернативную гипотезу .

При использовании любого критерия возможны ошибки двух видов:

1) отклонить верную основную гипотезу - ошибка первого рода;

2) принять неверную основную гипотезу - ошибка второго рода.

Вероятности совершения ошибок первого и второго рода обозначают и : , , где - вероятность события при условии, что справедлива гипотеза , . Вероятность совершения ошибки первого рода называют также уровнем значимости критерия , а величину , равную вероятности отклонить основную гипотезу , когда она неверна, называют мощностью критерия. Уровень значимости определяет «размер» критического множества. Обычно используются значения , равные , , .

Проверка статистической гипотезы основывается на принципе, в соответствии с которым маловероятные события считаются невозможными, т.е. если выборка попадает в критическое множество с исключительно малой вероятностью, то естественно предположить, что утверждение, которое привело к этому маловероятному событию, не соответствует истине и отклонить его. Поступая так, мы будем отклонять в действительности верную основную гипотезу крайне редко – не более чем в случаев. Поэтому за основную гипотезу естественно принять утверждение, отклонение которого, когда оно в действительности является верным, приводит к более тяжёлым последствиям, чем его принятие при справедливости альтернативы.

Общая схема проверки параметрической гипотезы состоит в следующем: 1) формулируется альтернативная гипотеза ; 2) задаётся уровень значимости ; 3) выбирается статистика критерия проверки гипотезы ; 4) определяется выборочное распределение статистики при условии, что гипотеза является верной; 5) по заданным значениям и определяется критическое множество критерия в зависимости от формулировки альтернативной гипотезы ;

6) по выборке вычисляется наблюдаемое значение статистики критерия; 7) принимается статистическое решение: если , то основная гипотеза отклоняется как не согласующаяся с данными выборки; если , то принимается, т.е. считается, что гипотеза не противоречит данным выборки.