Терминология. Неравенства

В заключение этого раздела уточним еще раз некоторые термины.

Множество чисел х, удовлетворяющее свойству a £ x £ b, называется замкнутым отрезком и обозначается [ a, b ].

Множество чисел х, удовлетворяющее свойству a < x < b, называется открытым отрезком и обозначается (a, b).

Множество чисел х, удовлетворяющее свойству a < x £ b (или a £ x < b), называется полуоткрытым отрезком и обозначается (a, b ] (соответственно [ a, b)).

Модулем | x | числа х называется это же число, взятое со знаком «+». Очевидно, что всегда

-| x | £ x £ | x |

Важнейшее в дальнейшем для нас неравенство выглядит так: | x + y | £ | x | + | y |. Докажем его.

Имеем: -| x | £ x £ | x |; -| y | £ y £ | y |.

Складывая эти неравенства получим:

- (| x | + | y |) £ x + y £ | x | + | y |,

откуда и следует, что | x + y | £ | x | + | y | <

Отметим еще, что | x – y | £ | x | + | y |. Попытка записать это неравенство в виде

| x – y | £ | x | - | y | является грубейшей ошибкой. Никогда не допускайте ее!

Отметим еще, что неравенство эквивалентно такой цепочке:

.

Действительно, из следует, что , так как и . Прибавляя ко всем частям этой цепочки неравенств число а, получим .

Итак, запомните эквивалентную запись:

.

Она будет основной в следующем разделе.

Открытый промежуток называют «e-окрестностью» числа а (или «e-окрест­ностью» точки а).