Соответствие точка-число. Вещественные числа

Разберем сначала правило, которое каждой точке прямой линии ставит во взаимно-однозначное соответствие некоторое число

Пусть имеется некая бесконечная прямая. Проделаем следующее:

1. На этой прямой выберем какую-то точку, которую будем считать за начало отсчета. Этой точке поставим в соответствие число +0,0000…

2. Будем считать, что если точка расположена правее начала отсчета, то соответствующее ей число имеет знак +, а если левее – то знак –. Тем самым на прямой будет задано направление.

3. Выберем некоторый отрезок, длину которого будем считать за 1.

4. Пусть М – некоторая точка прямой, расположенная скажем, правее точки отсчета. Будем откладывать от начала отсчета единичные отрезки до тех пор, пока конец не «перескочит» точку М. Сколько раз этот единичный отрезок уложится до точки М определит нам целую часть числа, соответствующего этой точке (на рисунке +2).

5. Разделим отрезок, равный 1 на 10 равных частей, и от последней точки будем откладывать теперь этот отрезок, равный 1/10. Сколько раз он уложился до точки М, определит нам первую цифру числа после запятой (на рисунке +2,6)

6. Разделим отрезок, равный 1/10снова на 10 равных частей, и от последней точки будем откладывать теперь этот отрезок, равный 1/100. Сколько раз он уложился до точки М, определит нам вторую цифру числа после запятой (на рисунке +2,63)

7. Разделим отрезок, равный 1/100снова на 10 равных частей, и …

Продолжая этот процесс деления отрезка на 10 равных частей неограниченное число раз, мы и получим число, соответствующее точке М нашей прямой (см. на рис. +2,6375…).

Сделаем только одну важную оговорку. Что делать, если на каком-то этапе конец отрезка «воткнется» в точку М, то есть совпадет с ней? Здесь, конечно, дело вкуса. Для определенности договоримся, что мы всегда будем откладывать отрезок по недостатку, то есть так, чтобы его конец не превосходил точки М и не совпадал с ней. Поэтому, скажем, точке М, расположенной на расстоянии ½ длины единичного отрезка будет соответствовать число +0,49999… а не число +0,5000… Эта оговорка гарантирует нам взаимную однозначность соответствия точка число.

Итак, каждой точке взаимно однозначно поставлено в соответствие некая бесконечная десятичная дробь, называемая вещественным числом. Дадим точное определение этим числам.

Вещественным числом называется бесконечная десятичная дробь вида:

где ЗНАК

а все цифры a_i после запятой принадлежат множеству {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Оговорки:

1. Запрещаются числа вида:

2. Существует особое число +0,0000…

Какое же соотношение рациональными и вещественными числами?

Конечно, каждое рациональное число можно также можно представить в виде бесконечной десятичной дроби, т.е. рациональные числа входят во все множество вещественных чисел. Но эти дроби будит обязательно периодическими. Например, .

А если получающаяся дробь непериодическая, например такая +0,101001000100001…? Тогда она соответствует так называемому иррациональному числу.

Итак,

{вещественные числа}={рациональные числа} È{иррациональные числа},

где {рациональные числа} это периодические десятичные дроби, а {иррациональные числа} это непериодические десятичные дроби.

Пусть даны два вещественных числа:

Будем считать, что a = b, если:

a) знак a = знак b

b)

то есть если у них одинаковые знаки и совпадают все соответствующие друг другу цифры.