Счетность множества рациональных чисел

Школьная математика имеет дело в основном рациональными числами.

Рациональным числом называется число вида:

, где , а

Что мы умеем делать с этими числами?

1) Складывать и вычитать. Если , то

2) Умножать и делить:

.

3) Сравнивать:

Если

Но в связи с изучаемыми понятиями для нас нужна следующая теорема.

Теорема. Множество рациональных чисел счетно.

Доказательство.

Представим множество всех рациональных чисел в виде бесконечной таблицы.

Опишем, как строятся строки этой таблицы.

Первая строка – это все целые числа, расположенные по возрастанию их модуля и так, что знаки «+» и «–» чередуются.

Вторая строка – это все несократимые дроби со знаменателем 2, расположенные по возрастанию их модуля и так, что знаки «+» и «–» чередуются.

Третья строка – это все несократимые дроби со знаменателем 3, расположенные по возрастанию их модуля и так, что знаки «+» и «–» чередуются.

Вообще, n-ая строка это все несократимые дроби со знаменателем n, расположенные по возрастанию их модуля и так, что знаки «+» и «–» чередуются.

Очевидно, что в этой таблице находятся все рациональные числа. Используя снова прием диагонализации представим R в виде:

Так как R представилось в форме последовательности, то отсюда следует, что R – счетное множество. <