![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Как уже сказано выше, рациональных чисел счетное множество, а вещественных – континуум, то есть гораздо больше. Но есть некоторые свойства рациональных чисел, которые позволяют заменять вещественные числа рациональными.
Теорема 1. Для любого вещественного числа а и для любого найдутся два рациональных числа r 1 и r 2, такие, что:
а) б)
.
(Обратите внимание, как может быть записана формулировка этой теоремы:
Правда, короче?)
Доказательство.
Возьмем любое . Так как по смыслу
мало, то пусть оно имеет вид:
Рассмотрим число
, равное, очевидно
. Пусть а >0. Распишем его:
Предположим, что n –ая цифра после запятой . Рассмотрим числа
Тогда можно сказать, что
а) r 1 и r 2 - рациональные числа, так как у обоих из них бесконечные «хвосты» из девяток;
б) , так как
;
в) , так как у r 2 после an все девятки, а у числа а хотя бы одна цифра не будет девяткой.
г) , так как у e на n -м месте стоит e n, а у разности
на n -ом месте стоит
.
Тем самым, построенные числа r 1 и r 2 удовлетворяют всем условиям теоремы. <
Подумайте сами, что надо изменить в доказательстве, если окажется, что .
Теорема 2. Для любых двух вещественных чисел a и b, не равных друг другу, найдется такое рациональное число r, которое будет расположено между ними.
( веществ. а, b а ≠ b
рацион. r a < r < b)
Доказательство.
1. Пусть для определенности а < b и а >0. Тогда числа а и b имеют вид:
Так как а < b, то найдется такая цифра с номером n, что
но
(то есть
).
В числе b после n -й цифры могут быть нули, но бесконечного «хвоста» из нулей быть не может, это запрещено. Поэтому b обязано иметь вид
где bp – первая цифра после следующей за bn серии нулей, такая, что (то есть
).
Возьмем r в виде
Тогда ясно, что
а) r – рациональное число, так как у него бесконечный «хвост» из девяток;
б) а < r, так как аn < bn.
в) r < b, т.к. (bp -1) < bp.
Построение r удовлетворяет всем требованиям нашей теоремы.
2. Пусть теперь а <0 и b >0. Тогда можно взять r = 0.
3. Пусть, наконец, a <0, b <0 и b < a. Тогда | a | < | b | и, согласно п.1, найдется такое рациональное число r, что | a | < r < | b |. Но тогда b < - r < a. Теорема доказана.<
Указанные две теоремы образуют то, что математики называют «плотностью» рациональных чисел относительно множества вещественных чисел. Это свойство плотности играет важную роль в доказательстве целого ряда теорем.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 466 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!