![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
(рис. 9.8, 9.9)
Если обе проекции прямой явля-ются прямыми, не параллельными и не перпендикулярными к осям проекций или вертикальным линиям связи, то изображенная ими прямая занимает в пространстве общее положение (рис. 9.8).
![]() |
Рис9.9. Геометрическая модель идеи способа прямоугольного треугольник
![]() |
Рис.9.10. Правило прямоугольного
треугольника
Если отрезок прямой не параллелен плоскости проекций, то длина его орто-
гональной проекции на эту плоскость не равна длине самого отрезка, а мень-ше неё на косинус угла его наклона к этой плоскости.
Из рис 9.9. видно, что отрезок АВ является ребром некоторого тетраэдра АВСD, по которому пересекаются две его грани в виде прямоугольных тре-угольников АВС и АВD, катеты ВС и АD которых являются соответственно гори-зонтальной и фронтальной линиями уровня, метрически равными горизонта-льной и фронтальной проекциям отрез-ка АВ.
Углы между гипотенузой АВ и прилежащими катетами ВС и АD метрически равны натуральным величинам углов
наклона отрезка АВ к П2 и П1, а длина гипотенузы АВ этих треугольников равна длине отрезка АВ общего положе-ния. Для графического по-строения гипотенузы пря-моугольного треугольника не-обходимо иметь два его кате-та. Информация о этих катетах непо-средственно присутствует на комплек-сном чертеже. Ведь прилежащий к углу наклона катет равен данной проекции отрезка, а противолежащий равен раз-ности расстояний другой его проекции до оси проекций.
Отсюда вытекает правило прямо - угольного треугольника для опреде-ления длины отрезка прямой общего положения и величин углов его наклона к плоскостям проекций по его ортого-нальному комплексному чертежу (рис. 11.9):
Натуральной величиной отрезка
прямой общего положения является длина гипотенузы прямоугольного треугольника, одним из катетов ко-торого является одна из проекций этого отрезка, а второй катет ме-трически равен разности расстояний концов другой его проекции до оси про-екций.
Натуральной величиной угла j ° на-клона отрезка АВ к плоскости П1 явля-ется значение угла между горизонталь-ной проекцией отрезка и его натураль-ной величиной.
Натуральной величиной угла y ° на-
клона отрезка АВ к плоскости П2 явля-
ется значение угла между фронтальной проекцией отрезка и его натуральной величиной.
Утверждение 9.4. Ортогональ-ные проекции отрезка прямой обще-го положения не содержат в себе не-посредственной информации о его метрике, но содержат все необходи-мые данные для её определения.
9.5. Графические модели простейших двухэлементных систем из точек и прямых и их изобразительные свойства
Два возможных варианта систем из точек и одной прямой
1. А, В, С,…Î а; 2. А,В,С,…Ï а.
![]() |
Рис.9.11. Геометрическая модель
системы из точек и прямой
Точка, не принадлежащая прямой, может быть над, под, перед, за, правее, правее и выше (ниже, дальше, ближе) и левее (ниже, дальше, ближе) этой пря-мой.
Утверждение 9.5. Если точка принадлежит прямой, то одноимен-ные проекции этой точки и этой пря-мой инцидентны (рис. 9.12)
А Î а Þ А1 Î а1, А2 Î а2.
![]() |
Рис.9.12. Графическая модель системы из точек и прямой
Утверждение 9.6. Если точка не при-
надлежит прямой, то одна или обе её проекции не принадлежат соответст-вующим проекциям этой прямой (рис. 9.12).
![]() |
Рис.9.13. Геометрические модели
систем из двух прямых
![]() |
Рис. 9.14. Графические модели двух параллельных прямых
![]() |
Рис. 9.15. Графические модели двух пересекающихся прямых
А Ï а Þ А1 Ï а1, А 2 Ï а 2;
А Ï а Þ А1 Î а1, А 2 Ï а 2 ;
А Ï а Þ А1 Ï а1, А 2 Î а 2.
9.6. Геометрические модели систем из двух прямых (рис. 9.13)
1. а || b; 2. с ´ d = K;
3. a ^ b; 4. a @ b.
Относителтьно друг друга прямые мо-гут быть параллельными, пересекаю-щимися, в том числе, и под прямым уг-лом, и скрещивающимися.
Относительно плоскостей проекций прямые этих систем могут занимать как частные, так и общее положение.
1. Параллельные прямые (рис.9.14):
1.1. (a || П1) || (b || П1 );
1.2. (a || П2) || (b || П2);
1.3. (a ∦ П1; П2) || (b ∦ П1; П2).
Утверждение 9.7. Если две прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции параллельны.
a || b Þ a1 || b1, a2 || b 2.
2. Пересекающиеся прямые (рис 9.15):
2.1. (h || П1) х (f || П 2 ) = K;
2.2. (a ∦ П1) x (f || П2) = K;
2.3. (a ∦ П1, П2) x (b ∦ П1, П2) = K.
2.4. (h Î П1) x (f Î П2 ) = u12.
Утверждение 9.8. Если прямые в пространстве пересекаются, то их одноименные проекции также пересе-каются, а разноименные проекции то-чки их пересечения лежат на одной вертикальной линии связи.
3. Перпендикулярные прямые
(рис. 9.16)
3.1. (а || П1) ^ (b || П1) = А;
3.2. (a ⊥ П1) ^ (b ^ П1) = K;
3.3. (m || П1) ^ (n || П1) = L;
3.4. (a || П2) ^ (b || П2) = N;
3.5. (l || П2 ) ^ (k || П1) = K;
3.6. (c || П2) ^ (d ∦ П 2) = K;
3.7. (a ^ П1) ^ (b ^ П2) = K;
![]() |
Рис.9.16. Графические модели взаимно-перпендикулярных прямых
Геометрическая модель системы из двух взаимно-перпендикулярных пря-мых предполагает такие 7 вариантов их расположения в пространстве, когда прямой угол между ними проецируется в прямой угол между их проекциями (рис.9.16).
Утверждение 9.9. Прямой угол проецируется в натуральную величи-ну на ту плоскость проекций, по отно-шению к которой либо обе его сторо-ны, либо одна из них параллельна.
Изобразительной особенностью комплексного чертежа прямого линей-ного угла является наличие на нем двух прямых углов. Один между одной из проекций его стороны -- линии уровня и вертикальной линией связи, второй, – собственно изображаемый угол.
![]() |
8- й вариант расположения
сторон прямо-
го угла пред-
полагает их
общее поло-
жение. В этом
случае пря-
мой угол бу-
Рис. 9.17. Угол междудет проециро-
прямыми а и b непрямой ваться в ту- или острый, но не в прямой (рис. 9.17).
![]() |
Рис. 9.18. Графические модели двух
скрещивающихся прямых
![]() |
Рис. 9.19. Геометрическая модель горизонтально-проецирующей плоскости
Отсюда следует утверждение 9.10:
Если между одноименными проекциями двух пересекающихся прямых прямые углы, то изображенный угол между этими прямыми в пространстве не яв-ляется прямым.
Задача на построение проекций прямого угла со сторонами общего по-ложения является позиционной, тре-бующей выполнения последовательных графических операций, и поэтому будет рассмотрена выше (см. рис.10.35).
4. Скрещивающиеся прямые (рис.9.18).
Для того, чтобы прямые в прост-ранстве скрещивались, необходимо на-рушить в их расположении условия параллельности и пересечения.
4.1. (a || П1) ∸ (b || П1);
4.2. (a ⊥ П3) ∸ (b ∦ П1, ∦ П2 );
4.3. (a – о.п.) ∸ (b || П1);
4.4. (a – о.п.) ∸ (b – о.п.);
4.5. (a || П 1) ∸ (b ⊥ П1);
4.6. (a || П1) ∸ (b ⊥ П2).
Это означает, что на их комплекс-ных чертежах должны отсутствовать графические признаки таких располо-жений. (см. утверждения 9. 7 и 9. 8).
Утверждение 9.11. Если прямыев пространстве скрещиваются, то их одноименные проекции в общем случае пересекаются, но разноименные про-екции точек их пересечения не лежат на одной вертикальной линии связи.
Возникает вопрос: что изображаютточки пересечения одноименных проек-ций двух скрещивающихся прямых?
Ответ: Они изображают такие две точки на этих прямых, которые лежат на одном проецирующем луче.
Определение 9.4. Точки двух скре-
щивающихся прямых, лежащие на од-ном проецирующем луче, называются к о н к у р и р у ю щ и м и.
На основе анализа взаимного рас-положения конкурирующих точек двух скрещивающихся прямых определяют
видимость этих прямых в составе не-
сквозных пространственных систем.
Пример 9.1.: Определить проекции не-видимых рёбер тетраэдра (рис.9.20).
![]() |
Рис.9.20. Анализ положения конкурирующих точек
Анализ условия: На горизонтальной проекции тетраэдра пересекаются проек-ции скрещивающихся рёбер АD и ВС в точке, где 11 º 21;
На фронтальной проекции тетраэдра пересекаются проекции скрещивающихся прямых АС и ВD в точке, где 32 º 42.
Решение: 1. Определив фронтальные проекции 12 и 22 конкурирующих точек 1 и 2 на рёбрах ВС и АD, видим, что точка 1 на ребре ВС дальше от П1, чем точка 2 на ребре АС и поэтому на виде сверху про-екция В1С1 будет видимой, а проекция
А1D1 - невидимой.
2. Определив горизонтальные проек-ции 31 и 41 конкурирующих точек 3 и 4 на рёбрах АС и ВD, видим, что точка 3 на ре-бре АС дальше от П2 , чем точка 4 на ребре АС и поэтому на виде спереди проекция А2D2, будет видимой, а проекция А2С2 - невидимой.
Утверждение 9.12. На комплек-сном чертеже непрозрачного гранного объекта видимыми будут те проекции его скрещивающихся рёбер, конкуриру-ющие точки которых расположены в пространстве дальше от соответст-вующих плоскостей проекций.
Это происходит потому, что, распо-лагаясь по направлениям проециро-вания дальше от плоскостейпроекций, они закрывают собой те конкурирующие точки, которые ближе к этим плоскос-тям и поэтому невидимы. Определение видимости проекций элементов на чер-тежах пространственных систем обяза-тельно.
![]() |
Рис. 9.21. Геометрическая модель фронтально-проецирующей плоскости
![]() |
Рис.9.22. Геометрическая модель профильно-проецирующей плоскости
![]() |
Рис.9.23. Геометрическая модель горизонтальной плоскости уровня
![]() |
Рис.9.24. Геометрическая модель фронтальной плоскости уровня
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 241 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!