Передаточные функции импульсных звеньев

Форма импульса	Передаточная функция формирующего элемента
прямоугольный
треугольный
Продолжение табл. 6.2
синусоидальный
экспоненциальный

6.5.2. Передаточные функции цифровых САУ в замкнутом состоянии. Определим передаточную функцию САУ, структурная схема которой представлена на рис. 6.16.

Уравнения связи между координатами имеют вид:

(6.57)

так как изображение импульсной функции

.

Уравнения связи для дискретных сигналов и Z-преобразования имеют вид:

(6.58)

После подстановки получим:

(6.59)

Передаточная функция системы, равная отношению изображения на выходе системы к изображению на входе будет иметь следующий вид:

(6.60)

При наличии неединичной обратной связи выражение (6.60) примет вид:

(6.61)

т.е. для Z-преобразования передаточные функции импульсных САУ имеют вид, аналогичный непрерывным системам.

6.6. Устойчивость и качество импульсных САУ

Замкнутые ИСАУ склонны к неустойчивости. Поэтому важно уметь исследовать и обеспечивать их устойчивость, ибо только устойчивая САУ способна выполнять возлагаемые на нее функции.

Для разомкнутых ИСАУ исследование устойчивости производится просто, так как корни характеристического уравнения разомкнутой САУ совпадают с корнями характеристического уравнения приведенной непрерывной части. Таким образом, если приведенная непрерывная часть устойчива, находится на границе устойчивости, либо неустойчива, то и разомкнутая импульсная САУ соответственно устойчива, находится на границе устойчивости или неустойчива.

6.6.1. Необходимые и достаточные условия устойчивости. Как известно, для непрерывных САУ необходимым и достаточным условием устойчивости является расположение корней характеристического уравнения системы слева от мнимой оси комплексной плоскости.

Цифровая САУ устойчива, если ее собственные процессы с течением времени затухают. Оценку устойчивости цифровой САУ, как и непрерывной, обычно проводят на основании исследования характеристического уравнения, которое можно получить, приравнивая к нулю знаменатель передаточной функции замкнутой системы .

Поскольку переменная появилась от подстановки , то каждый корень связан с корнями на плоскости зависимостью . Нетрудно заметить из этого выражения, что нулевому корню () cоответствует корень , а отрицательным вещественным корням соответствуют корни , где – порядок характеристического уравнения.

Таким образом, цифровая САУ будет устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат внутри окружности с единичным радиусом, построенном в начале координат комплексной плоскости Z, рис. 6.17 а.

При наличии корней система неустойчива.

Общее решение разностного уравнения ИСАУ можно представить в виде суммы частного решения с правой частью и общего решения без правой части, т.е.

(6.62)

Составляющая описывает вынужденное движение системы, а – переходное движение. Об устойчивости движения системы можно судить по составляющей , определяемой из решения однородного уравнения

(6.63)

Предположим, что решение уравнения (6.63) имеет следующий вид:

(6.64)

Подставив это решение в (6.63), получим:

(6.65)

Так как , то можно все члены уравнения (6.65) сократить на , тогда:

. (6.66)

Умножая обе части равенства на , получим уравнение

. (6.67)

Введем обозначение . Тогда (6.67) можно записать так:

. (6.68)

Полученное уравнение (6.68) называют характеристическим уравнением. Если – корни характеристического уравнения (6.68), то решение уравнения, например, при действительных корнях можно записать в виде суммы:

(6.69)

где – постоянные коэффициенты, определяемые из начальных условий

Решение уравнения (6.69) будет устойчивым, если

. (6.70)

Для выполнения этого условия необходимо, чтобы каждое слагаемое в решении (6.69) удовлетворяло равенству

. (6.71)

В свою очередь, соотношение (6.71) выполнимо только в том случае, если все корни по модулю не превосходят единицу, т.е.

(6.72)

Следовательно, необходимым и достаточным условием устойчивости импульсной системы является соблюдение неравенства

(6.73)

для всех корней характеристического уравнения, полученного из разностного уравнения данной системы.

Все остальные случаи для значений Z соответствуют либо нахождению системы на границе устойчивости, либо неустойчивому состоянию ИСАУ.

Аналогично непрерывным САУ для ИСАУ разработаны методы, позволяющие без непосредственного вычисления корней характеристического уравнения определить ее устойчивость по критериям устойчивости.

6.6.2. Алгебраические критерии устойчивости. Наиболее распространенным алгебраическим критерием устойчивости, позволяющим определить устойчивость ИСАУ по коэффициентам характеристического уравнения является критерий Шур-Кона.

Пусть характеристическое уравнение имеет вид:

. (6.74)

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы у последовательности определителей , составленных из коэффициентов уравнения, по определенному закону сочетались знаками:

– при К нечетном, ;

– при К четном, ,

где – порядок характеристического уравнения и номер последовательности определителей.

Общая формула определителей, содержащих 2 К строк и 2 К столбцов, имеет вид

(6.75)

где – сопряженное значение (указывающее на обратно-симметричное расположение коэффициентов в определителе).

При и вещественных коэффициентах определители будут иметь вид

(6.76)

Для устойчивости системы третьего порядка необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия .

Пример. Определить устойчивость ИСАУ, характеристическое уравнение которой . Составим определители:

.

Так как , а , то система устойчива. Действительно, корни характеристического уравнения по модулю не превышают 1:

;

Условия устойчивости ИСАУ могут быть сведены к известному в теории непрерывного управления критерию Рауса-Гурвица. При этом при анализе используют следующее преобразование:

или , (6.77)

где w – круговая частота.

В этом случае получающийся после преобразования характеристический полином является однозначной функцией от w и условия устойчивости полностью совпадают с условиями Гурвица для непрерывных систем, а именно для устойчивой системы все корни характеристического уравнения должны располагаться в левой части плоскости .

Если имеем характеристическое уравнение вида

(6.78)

то преобразованное уравнение будет иметь вид:

(6.79)

При этом коэффициенты определяются по формулам

,

а остальные коэффициенты определяются следующим образом

а условия устойчивости:

Для характеристических уравнений невысокой степени условия устойчивости будут иметь следующий вид:

Уравнение первого порядка

Условия устойчивости:

Уравнение второго порядка

Условия устойчивости:

Уравнение третьего порядка

Условия устойчивости:

Уравнения четвертого порядка

Условия устойчивости:

Для и первые три условия системы неравенств при замене в них знака неравенства на равенство соответствуют границам устойчивости. Практически для определения устойчивости необходимо найти границы устойчивости, а затем, взяв какую-либо точку внутри этих границ, установить, удовлетворяются ли остальные неравенства. Если они удовлетворяются, то области, заключенные внутри границ, соответствуют областям устойчивости.

6.7. Частотные критерии устойчивости

Кроме алгебраических, широкое распространение получили частотные критерии устойчивости ИСАУ, аналоги критериев Михайлова и Найквиста. Для правильного их использования рассмотрим принципы построения частотных характеристик ИСАУ.

6.7.1. Частотные характеристики импульсных САУ. Понятия о частотных характеристиках импульсных и непрерывных систем очень близки, но особенность частотных характеристик ИСАУ состоит в том, что они устанавливают связи между решетчатыми функциями, соответствующими непрерывным гармоническим колебаниям.

Если на вход приведенной непрерывной части САУ подавать гармоническую решетчатую функцию

(6.80)

то после окончания переходного процесса решетчатая функция, соответствующая выходной величине системы, будет также представлять собой гармоническую функцию, но иной амплитуды и фазы

(6.81)

или в показательной форме изображения сигналов

; (6.82)

. (6.83)

Отношение

(6.84)

называется частотной дискретной передаточной функцией и является аналитическим выражением для построения АФЧХ импульсной САУ. Так как частотная функция – величина комплексная, она может быть записана в виде суммы вещественной или мнимой части или в показательной форме:

, (6.85)

где

– модуль частотной функции;

– аргумент частотной функции.

Физический смысл модуля и аргумента частотной функции ИСАУ аналогичен непрерывной системе:

- модуль равен отношению амплитуд гармонических решетчатых функций на выходе и входе импульсной системы в установившемся режиме;

- аргумент равен сдвигу по фазе этих решетчатых функций.

C изменением частоты подаваемых на вход системы гармонических колебаний меняется амплитуда и фаза гармонических колебаний на выходе.

Кривая зависимости модуля частотной функции от частоты представляет собой амплитудно-частотную характеристику (АЧХ), а кривая зависимости аргумента частотной функции от частоты – фазовую частотную характеристику системы (ФЧХ).

Свойства частотных характеристик

Свойство 1.

Частотные характеристики являются периодическими функциями относительно частоты с периодом повторения 2p. Следовательно, при построении частотных характеристик импульсной системы достаточно ограничиться участком характеристики, соответствующим изменению частоты w в диапазоне 2p. Кроме того, если принять во внимание, что участки частотных характеристик в диапазоне изменения частоты от –p до 0 и от 0 до +p симметричны, то можно ограничиться построением характеристик в диапазоне частот от 0 до p. Свойство периодичности частотных характеристик можно объяснить физически. Решетчатая функция, соответствующая входному сигналу системы и имеющая место на выходе импульсного элемента, зависит только от значения этого сигнала в дискретные моменты времени и не зависит от его значений между ними. Поэтому решетчатая функция, соответствующая гармоническим колебаниям и , частоты которой отличаются на , имеет один и тот же вид.

Свойство 2.

Амплитудно- фазовая частотная характеристика разомкнутой импульсной системы начинается и заканчивается на вещественной оси.

Свойство 3.

Частотная характеристика системы зависит не только от частоты w, но и от смещения. Поэтому в отличие от непрерывных систем импульсные имеют множество частотных характеристик, соответствующих различным значениям смещения.

АФЧХ импульсной системы можно получить аналитически, если структурная схема представлена в виде последовательного или параллельного соединения ряда звеньев, для которых легко построить АФЧХ. Тогда результирующая АФЧХ импульсной системы получается, как результат графического сложения или умножения этих характеристик.

АФЧХ некоторых типовых элементов ИСАУ представлены в табл. 6.3.

Таблица 6.3