Глава 6. Исследование цифровых систем управления

6.1. Структура цифровых САУ

Значительные вычислительные и логические возможности микроЭВМ, сочетающиеся со многими достоинствами микропроцессоров и систем на их основе, определяют целесообразность их использования для автоматического и автоматизированного управления техническими средствами подводной лодки. МикроЭВМ, как и любые другие устройства цифровой обработки сигналов, имеют важные преимущества перед аналоговыми устройствами, а именно:

- высокая стабильность характеристик;

- отсутствие дрейфа нуля;

- высокая точность выполнения арифметических операций;

- малый вес и габариты;

- высокое быстродействие;

- возможность гибкой оперативной перестройки структуры и др.

В настоящее время при создании САУ принципиально возможно идти по двум направлениям. Первое из них связано с использованием центральных управляющих микроЭВМ. Подобные системы могут применяться сложными объектами или группами объектов.

Общая структурная схема САУ с микроЭВМ для этого случая показана на рис. 6.1. Система содержит ряд входных (ВхП) и выходных (ВыхП) преобразователей, обменивающихся сигналами управления с микроЭВМ в процессе преобразования данных по шине управления. Сигналы с выходных преобразователей поступают на исполнительные устройства (ИУ), воздействующие на объект управления (ОУ).

Такая система может быть связанной многомерной, если осуществляется управление сложным многомерным объектом, например управление движением подводной лодки или управление режимами работы АЭУ, или несвязанной многомерной, если осуществляется управление группой несвязанных одномерных объектов, например управление ОКС. В последнем случае САУ с микроЭВМ распадается на совокупность одномерных систем, ее виртуальная (кажущаяся) структура представляется в виде совокупности одноконтурных САУ, рис. 6.2, каждая из которых имеет свою программу управления (ПУ).

При управлении сложным объектом или группой объектов процессор обслуживает по очереди отдельные каналы управления. Эта очередь может осуществляться по жесткой программе или по мере поступления заявок от отдельных каналов с возможностью использования в последнем случае приоритетного обслуживания.

Второе направление, по которому развивается в настоящее время САУ с микроЭВМ, – это использование в каждом контуре управления автономной микроЭВМ, называемой часто микроконтроллером. Структурная схема САУ с автономными микроЭВМ показана на рис. 6.3. Микроконтроллеры представляют собой упрощенные варианты микроЭВМ, размещаемых в непосредственной близости от управляемого объекта. В микроконтроллерных системах центральная ЭВМ либо отсутствует, либо вводится для передачи ей функций диспетчера или супервизора.

Выбор одного из двух направлений построения САУ с микроЭВМ связан, в частности, с проблемами надежности и стоимости. Стоимость САУ, использующих центральную управляющую машину, обычно при большом числе управляемых объектов ниже стоимости микроконтроллерных систем. Эта закономерность, впрочем, с развитием технологии производства микропроцессоров, приведшая к созданию высокоэффективных однокристальных микроЭВМ, проявляется все в меньшей степени. Кроме того, САУ на базе центральных управляющих машин являются технологически менее надежными, а САУ менее живучая. Поэтому принцип децентрализованного (микроконтроллерного) управления в микропроцессорных САУ постепенно становится превалирующим.

Для увеличения надежности, живучести, производительности и гибкости микроЭВМ в САУ применяют многомикропроцессорные системы и системы на базе многих микроЭВМ – многомашинные системы.

Первый класс структур цифровых САУ характеризуется тем, что большое число микропроцессоров работают на одну общую шину, как это показано на рис. 6.4. Организация параллельной работы позволяет реализовать один из следующих режимов:

- одновременное выполнение нескольких команд программы;

- одновременное выполнение нескольких программ или подпрограмм.

В первом режиме каждый процессор выполняет команды определенного класса, например, логические команды, арифметические команды, команды по определению адресов и др. Во втором режиме каждый процессор имеет возможность работать с полным списком команд. Оба режима позволяют увеличить производительность управляющих микроЭВМ.

Топология второго класса структур цифровых САУ определяется требованиями надежности, стоимости, гибкости и производительности. Возможные варианты топологии многомашинных систем приведены на рис. 6.5 соответственно:

а) иерархическая;

б) шинная;

в) сетевая;

г)кольцевая;

д) матричная;

е) последовательная.

Структуры данного класса обладают высокой надежностью и живучестью.

Интеграция различных микропроцессорных САУ техническими средствами ПЛ в комплексную или интегрированную САУ выдвинуло понятие «Системы реального времени», которое не возникало пока применялись аналоговые САУ. Что же такое реальное время?

Системой реального времени называется система, если ее быстродействие адекватно скорости протекания физических процессов на объектах контроля и управления.

Из определения можно сделать следующие выводы:

1. Практически все системы управления ПЛ являются системами реального времени.

Это системы управления движением (СУД), системы управления главной энергетической установкой (СУ ГЭУ), системы управления общекорабельными системами (СУ ОКС), системы управления электроэнергетическими системами (СУ ЭЭС) и системы информационной поддержки (СИП).

2. Принадлежность системы к классу систем реального времени никак не связана с ее быстродействием.

Исходные требования к времени реакции системы и другим временным параметрам определяются динамикой функционирования управляемых объектов. Точное определение времени реакции системы может быть определено в результате анализа процессов, протекающих в объекте управления и контроля.

Канал цифровой системы управления в общем виде состоит из следующих элементов: органов управления, аналого-цифровых преобразователей (АЦП), цифро-аналоговых преобразователей (ЦАП), контроллера (микроЭВМ) и непрерывной части (объекта управления и источников информации – датчиков обратной связи), рис.6.6.

Система должна собрать данные, произвести их обработку в соответствии с заданными алгоритмами и выдать управляющее воздействие за такой промежуток времени, который обеспечивает успешное решение поставленных перед системой задач.

Чтобы оценить необходимое быстродействие для систем, имеющих дело со стационарными процессами, используют теорему Котельникова, из которой следует, что частота дискретизации сигналов управления должна быть, как минимум в 2 раза выше граничной частоты их спектра.

Непрерывные функции времени, передаваемые по шине передачи данных, всегда обладают ограниченной шириной спектра . Для передачи функции c ограниченным спектром не нужно передавать все значения функции, достаточно передать лишь отдельные мгновенные значения ее, отсчитанные через интервал времени , где:

– частота дискретизации процесса управления;

– ширина спектра управляемого процесса.

Так для СУД подводной лодки ширина спектра равна 0–5 Гц. В этом случае частота дискретизации процесса должна быть не менее 10 Гц, а интервал дискретизации 0,1 с. Для СУД экраноплана ширина спектра составляет 40 Гц, частота дискретизации 80 Гц, а интервал дискретизации 0,0125 с. Это является очень важным фактором для разработчика системы управления, так как определяет выбор типа АЦП и ЦАП и быстродействие вычислительного устройства.

Принято различать системы «жесткого» и «мягкого» реального времени.

1. Системой «жесткого» реального времени называется система, где неспособность обеспечить реакцию на какие-либо события в заданное время является отказом и ведет к невозможности решения поставленной задачи. Время реакции в жестких системах различно и определяется динамикой объекта. К таким системам относятся практически все системы управления движением и техническими средствами судна.

2. Системой «мягкого» реального времени называется система, допускающая отставание процесса обработки сигнала от динамики объекта. К таким системам можно отнести системы контроля и диагностирования оборудования. Они периодически контролируют параметры состояния объекта управления, обеспечивают их обработку и представляют информацию о состоянии объекта с задержкой относительно динамики управления, но обеспечивают принятие решения оператором по эксплуатации объекта управления.

Сложность для корабельных систем управления и обработки информации состоит в том, что необходимо объединить в единую систему разнообразные по быстродействию системы реального времени, в том числе «жесткие» и «мягкие» системы реального времени. Это определяет аппаратурную структуру системы, методы обеспечения надежности и живучести и распределения вычислительных ресурсов.

Именно поэтому возникает вся сложность реализации систем реального времени при интеграции их в единую систему, обеспечивающую одновременное решение большого количества разнородных задач. Это, в свою очередь, определяет требования к операционной системе реального времени.

Хотя каждая задача в системе, как правило, выполняет какую- либо отдельную функцию, часто возникает необходимость в синхронизации действий, выполняемых различными задачами по следующим причинам:

– функции, выполняемые различными задачами, связаны друг с другом;

– необходима синхронизация задач с внешними событиями;

– необходима синхронизация задач по времени;

– необходимо обеспечить упорядочивание нескольких задач к разделяемым ресурсам.

6.2. Цифровые вычислительные машины и устройства

Появление микропроцессорных САУ, предназначенных для решения задач управления и обработки информации в реальном времени, поставило перед разработчиками комплекс задач разной степени сложности, которые условно можно объединить в группы, связанные с:

- выбором микропроцессорных средств;

- обеспечением заданных показателей качества управления;

- разделением функций САУ между аппаратными и программными средствами;

- выбором архитектуры микроЭВМ;

- сопряжением аналоговой и цифровой частей САУ;

- выбором средств и методов проектирования;

- обеспечением заданных показателей надежности.

Проблемы перечислены в порядке, определяемом, в основном, структурой алгоритма процесса проектирования. Среди них трудно выделить важнейшие, так как все они неразрывно связаны, и от качества решения каждой из них зависит в целом эффективность применения микроЭВМ в САУ.

Проблема выбора микропроцессорных средств

Современная электронная промышленность предоставляет разработчикам САУ широкий ассортимент микропроцессорных средств. Это различные универсальные и специализированные микроЭВМ, а также разнообразные микропроцессорные комплекты БИС, отличающиеся своими характеристиками, функциональными возможностями, способами и языками программирования, принципами организации вычислительных процессов, полнотой и качеством программного обеспечения, доступностью, популярностью и т.д.

Разобраться в обилии микропроцессорных средств непросто. Еще труднее осуществить их правильный выбор. От того, насколько успешно осуществлен выбор микропроцессорных средств, решающим образом зависит эффективность всего проектирования САУ.

Выбор микропроцессорных средств невозможно осуществить в отрыве от задачи управления, ее алгоритмического выражения. Он опирается также на требования технического задания по быстродействию САУ, точности и другим показателям качества управления и основывается на предварительных расчетах, а также знаниях и, в определенной степени, интуиции разработчика.

Разработчик САУ с микроЭВМ должен детально представлять себе особенности тех или иных микропроцессорных средств, владеть основными принципами их выбора и руководствоваться этими принципами на практике. Выбор микропроцессорных средств основан на учете ограниченного числа факторов таких, как:

– быстродействие;

– длина разрядной сетки;

– объем памяти;

– степень соответствия системы команд алгоритму задачи;

– наличие технико-эксплуатационных ограничений на проектируемую аппаратуру.

Но, кроме этого, следует учитывать также ряд других факторов, которые мы рассмотрим подробнее.

Обеспечение заданных показателей качества управления

На такие показатели качества, как динамика, точность, вероятность выполнения функций управления и др… влияют особенности цифровой реализации алгоритмов управления в микроЭВМ. Как известно, при цифровом представлении информации осуществляются дискретизация процессов по времени и квантование по уровню.

Дискретизация процессов по времени осуществляется с некоторым критерием качества функционирования САУ, предъявляет требования к быстродействию микроЭВМ, а квантование по уровню приводит к возникновению шумов квантования. На практике для уменьшения шумов квантования прибегают к увеличению числа уровней квантования. Однако применение в контуре САУ микроЭВМ налагает определенные ограничения на возможное число уровней квантования, которое целесообразно делать большим, чем , где – длина разрядной сетки микроЭВМ. Например, для длин разрядной сетки 8 и 16 число уровней квантования может быть соответственно 256 или 65536.

Выбор требуемого числа уровней квантования зависит от особенностей конкретной задачи, решаемой микроЭВМ в САУ.

При вычислении в микроЭВМ возникают также новые составляющие шумов, называемые шумами округления. Это связано с тем, что, например, при умножении 8 – разрядных чисел с фиксированной запятой результат получается 16 – разрядным. Для последующих расчетов обычно используют только восемь старших разрядов. Отбрасывание восьми младших разрядов уменьшает точность вычислений и может привести к снижению запаса устойчивости цифровой системы. Поэтому в следящих системах отбрасывают старшие разряды. В этом случае система работает на линейном участке характеристики чувствительного элемента.

Решение проблемы показателей качества также связано с выбором периода дискретизации и числа уровней квантования входного сигнала, которые зависят от частотных и энергетических характеристик процесса и от алгоритма обработки информации. Ограничение накладывают микроЭВМ по быстродействию и длине разрядной сетки.

Рациональное распределение функций между аппаратными и программными средствами

Применение микропроцессорных средств в САУ основано на использовании различных концепций их построения. Так, характерные особенности микропроцессоров и микроЭВМ привели к широкому развитию децентрализованных САУ. Многие функции центральных управляющих ЭВМ переданы периферийным микроЭВМ, на базе которых разрабатываются станции локальные технологические и интеллектуальные датчики. В результате чего резко повышается живучесть САУ.

В САУ все большее применение находят адаптивные микроконтроллеры, используемые в тех случаях, когда в состав системы входят нелинейные элементы, элементы с изменяющимися во времени параметрами или с заранее неизвестной моделью, элементы с большими постоянными времени и т.д. Микропроцессорные средства предоставляют разработчикам аппаратуры хорошие возможности для реализации различных алгоритмов управления с использованием программируемых структур. В итоге на практике проявляется важное достоинство САУ с микроЭВМ, связанное с их гибкостью, т.е. возможностью модификации функций программным путем. С этих позиций передача в наибольшем объеме функций элементов САУ для использования микроЭВМ является оправданной. Но в этом случае может быть не обеспечена заданная производительность микроЭВМ. Поэтому в микроЭВМ наряду с программной широко используется аппаратная реализация алгоритмов обработки информации.

Задача распределения функций на программно и аппаратно реализуемые не является тривиальной. Ее решение связано с необходимостью анализа многих факторов, первостепенными из которых являются структура системы, характер представления входной и выходной информации (аналоговая, бинарная, цифровая) и особенности цифровых алгоритмов обработки информации, что определяет в конечном итоге архитектуру управляющей микроЭВМ.

Говоря об архитектуре вычислительных систем цифровых САУ, следует отметить, что такие вычислительные системы являются специализированными. Каждому алгоритму может соответствовать своя архитектура вычислительной системы, в которой оптимально объединены аппаратные и программные средства, рис. 6.7. Аппаратные средства представлены двумя большими группами (прикладные аппаратные средства и системные аппаратные средства), каждая из которых оказывает влияние на производительность вычислительных систем.

Прикладные аппаратные средства представлены структурами с непрограммируемой (жесткой) логикой, программируемой и комбинированной логикой. Структуры с программируемой логикой обеспечивают в среднем меньшую производительность вычислительных систем, чем структуры с жесткой логикой и комбинированные структуры.

Системные аппаратные средства включают технические средства организации внутри и межсистемного взаимодействия.

Программные средства включают прикладное программное обеспечение и системное программное обеспечение.

Прикладное программное обеспечение оказывает влияние на производительность вычислительных систем в силу многообразия программных алгоритмов, которые могут быть использованы для решения одной и той же задачи. Системное программное обеспечение предназначено для эффективной эксплуатации аппаратных и программных средств системы. К числу важнейших возможностей, предоставляемых программным обеспечением, относится управление процессом организации вычислений, которое реализуется операционной системой. Правильный выбор операционной системы является во многих случаях важнейшим условием, обеспечивающим решение задачи управления в реальном масштабе времени.

Реализация многообразных функций операционных систем по управлению вычислительными системами обеспечивается на основе использования аппаратных средств организации памяти и взаимодействия с внешними устройствами.

При выборе архитектуры управляющей ЭВМ разработчиком САУ решается ряд задач, в совокупности обеспечивающих выполнение САУ возложенных на нее функций.

Первая задача связана с многовариантностью структур управляющих микроЭВМ, что ставит перед разработчиком проблему распределения вычислительной мощности системы по ее элементам и блокам, а именно разделение вычислений между центральной и периферийными микроЭВМ, методы организации системной шины и памяти, способы организации обмена данными и т.д.

Вторая задача связана с многообразием систем команд, которые определяют в значительной степени их вычислительные мощности и степень универсальности применения.

Таким образом, выбор архитектуры управляющей микроЭВМ является важной проблемой, решение которой связано с глубоким пониманием общих принципов построения управляющих микроЭВМ и возможностей их использования на практике.

Сопряжение цифровой и аналоговой частей САУ

Для сопряжения аналоговой части САУ с микроЭВМ используются аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи. Наибольшие трудности обычно составляют разработка и подключение к микроЭВМ АЦП, к которым предъявляются высокие требования по быстродействию, точности и линейности преобразования.

САУ с микроЭВМ являются системами, работающими в режиме реального времени. Это предъявляет повышенные требования к частоте дискретизации аналогового сигнала, которая может достигать несколько десятков мегогерц. В течение времени, равного периоду дискретизации сигнала, АЦП должен сформировать на своем выходе цифровой эквивалент входного сигнала. При этом должна быть обеспечена разрешающая способность в 6–12 и более разрядов.

Схемотехническое проектирование, разработка программного обеспечения и отладка САУ с микроЭВМ

Особенностью микропроцессорных средств САУ является то, что схемотехническое проектирование и разработка программного обеспечения производятся практически параллельно. При этом стоимость и трудоемкость разработки программного обеспечения в 3–10 раз превосходят соответствующие затраты на схемотехническое проектирование. Поэтому при разработке САУ с микроЭВМ широко используются резидентные системы автоматизированного проектирования (САПР), позволяющие не только разработать и отладить программное обеспечение и схемотехнические компоненты управляющей микроЭВМ, но и проверить работоспособность всей САУ в целом на основе полунатурного эксперимента.

Резидентные САПР имеют, как правило, развитое математическое обеспечение, необходимый приборный состав и периферийное оборудование. В результате резко сокращаются сроки проектирования, повышается достоверность результатов проектирования.

Задачи и методы исследования цифровой САУ

Цифровые САУ имеют квантование по времени, что относит их к классу импульсных систем, и квантование по уровню (в АЦП и ЦАП), что делает их нелинейными. Существующие методы исследования нелинейных САУ мало пригодны для цифровых САУ. Методы фазового пространства и фазовой плоскости могут применяться для сравнительно простых систем. Метод гармонической линеаризации оказывается здесь сравнительно сложным вследствие учета влияния квантования по времени. Другие аналитические методы также малоэффективны.

Поэтому основным методом исследования цифровых САУ является их моделирование на ПЭВМ. Однако, такое моделирование не может проводиться без параллельного аналитического исследования, предназначенного для обоснования структуры проектируемой системы, определения основных ее параметров и качественных показателей и предварительного выбора всех элементов. Это предъявляет к аналитическим методам требования высокой эффективности и обозримости получаемых результатов. Наиболее пригодными здесь оказываются методы расчета, основанные на рассмотрении линеаризованных импульсных систем с учетом влияния, оказываемого квантованием по уровню в виде дополнительных шумов квантования. Рассмотренные в дальнейшем методы исследования цифровых САУ позволяют до перехода на моделирование проектируемой системы произвести оценку ожидаемых результатов и решить вопрос о целесообразности построения системы по избранной структуре.

6.3. Импульсные звенья

6.3.1. Квантование непрерывных сигналов. Процесс преобразования непрерывных функций в дискретные последовательности импульсов называется квантованием.

В цифровых САУ используется квантование по времени – это операция по преобразованию непрерывного сигнала в последовательность импульсов с фиксированным периодом дискретности. Квантование по времени достигается тем или иным видом модуляции: амплитудно-импульсная (АИМ) и широтно-импульсная (ШИМ).

При амплитудно-импульсной модуляции высота импульсов изменяется пропорционально значениям подаваемого на вход импульсного звена (ИЗ) непрерывного сигнала в дискретные, равностоящие моменты времени, как это показано на рис. 6.8, где – входная величина ИЗ (непрерывная); – выходная величина ИЗ (дискретная).

Период повторения Т и длительность импульсов остаются постоянными, следовательно, постоянна и скважность g, представляющая собой отношение длительности импульса к периоду повторения .

В течение времени действия импульсов высота их может изменяться, либо оставаться постоянной.

При широтно-импульсной модуляции высота импульсов остается постоянной, а их длительность или скважность находится в зависимости от значения непрерывной величины, подаваемой на вход ИЗ в моменты времени, равные периоду повторения, рис. 6.9. Большим значениям непрерывной функции соответствует меньшая скважность: если , то и .

САУ, в которых реализовано квантование по времени, называются импульсными САУ. Импульсные САУ с АИМ включают в себя класс цифровых САУ. В этих САУ амплитуда импульсов на выходе импульсного звена, фиксируемая через равностоящие промежутки времени, округляется до ближайшего большего или до ближайшего меньшего целого. САУ этого вида являются наиболее изученными и важными с точки зрения использования ЦВМ в контуре управления. При этом по теории Котельникова непрерывный сигнал с ограниченным частотным спектром в пределах от 0 до полностью определяется последовательностью своих дискретных значений, следующих через интервал прерывания (или частоту прерываний ).

6.3.2. Математическое описание импульсных звеньев и систем.

В общем случае импульсная САУ может быть представлена в виде сочетания импульсного звена (ИЗ) и непрерывной части (НЧ), чему соответствует схема на рис. 6.10. Форма вершин импульсов может быть самой разнообразной в зависимости от формы непрерывного сигнала.

Для облегчения задачи исследования импульсное звено представляют состоящим из двух частей: импульсного элемента (ИЭ), обеспечивающего на своем выходе сигнал в виде , и формирующего элемента (фэ), как это показано на рис. 6.11 а. Амплитуда импульсов при этом будет пропорциональна величине сигнала в момент замыкания ключа, рис. 6.11 б.

Формирующий элемент преобразовывает мгновенные импульсы на его входе в реальные импульсы следующим образом. Передаточная функция формирующего элемента подбирается таким образом, чтобы импульсная переходная характеристика ФЭ соответствовала форме непрерывного сигнала в течение времени, равного длительности реального импульса, рис. 6.11 б. Формирующий элемент реализуется путем подбора соответствующих типовых непрерывных звеньев, поэтому его также относят к непрерывной части системы. ФЭ и НЧ образуют приведенную непрерывную часть (ПНЧ) импульсной САУ.

Последовательность мгновенных, равноотстоящих импульсов на выходе ИЭ может быть представлена в виде дискретной функции (решетчатой функции), как это показано на рис. 6.12.

Дискретная функция определяется как числовая последовательность импульсов

(6.1)

Дискретная функция связана с непрерывной и, если интервал дискретности задан, может быть по ней определена однозначно:

при . (6.2)

Например:

; (6.3)

. (6.4)

Обратное утверждение несправедливо, так как одному значению дискретной функции может соответствовать множество различных непрерывных функций, рис. 6.12.

Если вместо указанной выше подстановки произвести подстановку , где – некоторая фиксированная величина в интервале времени от 0 до Т, то получим новую дискретную функцию , которая называется смещенной дискретной функцией.

Смещение может быть выражено в долях от интервала дискретности , где s £ 1.

Тогда смещенная дискретная функция запишется так:

. (6.5)

При , смещенная функция превращается в несмещенную .

В дальнейшем несмещенную дискретную функцию будем обозначать , а смещенную – .

В отличие от непрерывных функций для исследования дискретных не существует производных и интегралов, однако есть их аналоги: конечные разности, конечные суммы и разностные уравнения.

Конечные разности – аналоги производных непрерывных функций – обозначаются символом D и определяются следующим образом.

Конечная разность первого порядка

Первая производная

(6.6)

Вторая производная

.

Пример. Дифференциальное управление первого порядка имеет вид:

Заменяя дифференциал конечной разностью первого порядка, полученной при такте квантования , имеем выражение

Конечная разность второго порядка

(6.7)

Конечная разность к - ого порядка определяется по формуле:

(6.8)

Рассмотрим определение конечных разностей для некоторых дискретных функций:

1. .

Первая разность (6.9)

Вторая и высшие разности равны нулю.

2.

Первая разность (6.10)

Конечные разности различных порядков характеризуют дискретную функцию в отдельных ее точках, рис. 6.13.

Конечные суммы – аналоги интегралов непрерывных функций. Определяются по формуле:

(6.11)

Уравнения в конечных разностях (разностные уравнения) – аналоги дифференциальных уравнений непрерывных функций – устанавливают соотношение между дискретной функцией и ее разностями. В общем случае линейное однородное разностное уравнение с постоянными коэффициентами может быть записано так:

(6.12)

где – искомая функция, – постоянные коэффициенты.

Учитывая связь конечных разностей с дискретами решетчатых функций, запишем уравнение следующим образом:

(6.13)

Рассмотрим это преобразование на примере уравнения 4-го порядка:

(6.14)

Определим конечные разности

(6.15)

Подставив значения конечных разностей в исходное уравнение и приведя подобные члены, получим:

(6.16)

Для решения разностных уравнений необходимо задание начальных условий в виде ординат искомой дискретной функции в точках .

Решение разностного уравнения, т.е. вид функции , позволяет судить об устойчивости импульсной САУ, которая описывается этим уравнением, и о некоторых показателях качества переходного процесса.

Однако непосредственное решение разностных уравнений представляет трудоемкий процесс, поэтому в теории импульсных систем разработаны методы, позволяющие оценить устойчивость и качество без решения разностного уравнения.

Для этой цели широко используется дискретное [D] и [Z] преобразования Лапласа.

6.4.Решение системы разностных уравнений

6.4.1. Определение дискретного и Z-преобразования. Дискретную функцию с периодом повторения Т можно аналитически описать следующим образом

, (6.17)

где – порождаемая непрерывная функция;

– смещенная на nT дельта-функция.

Преобразование Лапласа для этой функции имеет вид:

(6.18)

Интеграл

, (6.19)

поскольку подынтегральная функция равна нулю во все моменты времени , а за время действия импульса не успевает существенно измениться и может быть вынесена за знак интеграла. В этом случае получим:

. (6.20)

Преобразование (6.20) носит название дискретного преобразования Лапласа, D-преобразования.

Изображение оригинала является аналитической (трансцендентной) функцией аргумента .

Если в уравнении (6.20) произвести подстановку , из которой следует, что , то получим следующее:

. (6.21)

Преобразование (6.21) носит название Z-преобразования дискретной функции .

Обозначаются D и Z-преобразования следующим образом:

или

или .

[Z]-преобразование однозначно связано с [D]-преобразованием, вытекает из него и получило большое распространение при исследовании импульсных САУ.

Определим [D] и [Z]-преобразования единичной функции :

(6.22)

Сумма полученной геометрической прогрессии равна

; (6.23)

(6.24)

Сумма ряда определяется формулой

(6.25)

т.е. Z-преобразованию единичной дискретной функции соответствует ее D-преобразованию, если в последнем произвести замену .

Для многих регулярных функций D - преобразование и Z - преобразование рассчитаны по приведенным выше формулам и результаты сведены в табл. 6.1.

При пользовании таблицей следует иметь в виду, что .

Определению преобразований способствует знание их основных свойств, которые мы рассмотрим ниже.

Таблица 6.1