![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Зададим в пространстве ортонормированный репер . Тогда пространство будет ориентировано.
Векторнымпроизведением неколлинеарных векторов и
называется вектор, обозначаемый
и удовлетворяющий следующим условиям:
1.
2.
3. тройки векторов и
ориентированы одинаково.
Если векторы и
коллинеарны, то их векторным произведением считается нуль вектор.n
Из определения следует, что тогда и только тогда, когда векторы
и
коллинеарны.
Пусть ,
- неколлинеарные векторы, значит
. Тогда векторное произведение
(1) - ненулевой вектор. Найдем его координаты относительно базиса
.
По определению векторного произведения (условие 2) имеем: и, значит, координаты вектора
являются ненулевым решением системы линейных однородных уравнений
,
,
ранг матрицы которой равен двум:
) (2)
Из третьего условия определения векторного произведения следует, что определитель системы векторов относительно базиса
положителен:
(3)
(2),(3)
Наконец, первое условие определения векторного произведения позволяет найти нужное значение параметра . Заметим, что
.
Значит, (4) и
(5).
Но (6)
(4), (5) (7)
(8)
Если векторы и
коллинеарны, то
и каждый из определителей, стоящих в правой части формулы (8), равен нулю. При этом
по определению. Поэтому формула (8) имеет место и в этом случае. Доказана
Теорема: Если ,
,то
.
Разложение (8) векторного произведения заданных векторов
и
по векторам базиса
удобно для запоминания записывать в виде "определителя":
(9)
Принимая во внимание известные свойства определителей, заключаем, что векторное произведение обладает следующими свойствами (см. формулы 8, 9)
(ассоциативность относи- тельно скалярного множителя
);
,
(дистрибутивность)
Отсюда следует, что линейная комбинация векторов умножается векторно на линейную комбинацию векторов по правилу умножения многочленов, но с обязательным сохранением порядка следования сомножителей. Например,
Пусть и
- неколлинеарные векторы. От некоторой точки М пространства отложим вектор
,
и построим параллелограмм МАСВ так, чтобы отрезки МА и MB были смежными сторонами этого параллелограмма. Его назовем параллелограммом, построенным на векторах
и
. В зависимости от выбора точки М на данных векторах можно построить бесконечное множество параллелограммов, но все они равны друг другу, поэтому имеют одну и ту же площадь.
Из определения векторного произведения (первое условие) следует, что длинавектора численноравнаплощадипараллелограмма, построенногонавекторах
и
(геометрический смысл векторного произведения векторов).
Задача. Пусть дан треугольник АВС координатами своих вершин относительно ортонормированного
репера ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() |
Решение: Площадь параллелограмма, построенного на векторах ,
численно равна |[
]|. Следовательно, SАВС =
|[
]|. Векторы
и
имеют координаты:
,
поэтому пользуясь формулой (8), получаем
.
В частности, если вершины треугольника лежат в плоскости OXY, то поэтому:
.
Заметим, что пользуясь формулой (4), имеем:
|[ ]|=
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 200 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!